Considere a transferência de massa unidimensional para uma mistura de oxigênio molecular \left(\mathrm{O}_{2}\right) e dióxido de carbono \left(\mathrm{CO}_{2}\right) a 70 F e a uma pressão total constante de 2 \mathrm{~atm} . \mathrm{O} oxigênio será chamado de gás A e o \mathrm{CO}_{2} de gás B . Pelas condições: x_{A}=\frac{1}{4}; \mathrm{v}_{\mathrm{A}}=20 \mathrm{ft} / \mathrm{h} e \mathrm{v}_{\mathrm{B}}= -4ft/h. Calcule os seguintes valores:
a) \mathrm{X}_{\mathrm{B}}
b) \mathrm{M}, \mathrm{M}_{\mathrm{A}} e \mathrm{M}_{\mathrm{B}}(\mathrm{lbm} / \mathrm{lbmol})
c) C , CA e \mathrm{CB}\left(\mathrm{lbmol} / \mathrm{ft}^{3}\right)
d) w_{A} e w_{B}
e) \rho, \rho_{A} e \rho_{B}\left(\mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}\right)
f) \left(v_{A}-v^{*}\right) e\left(v_{B}-v^{*}\right)(\mathrm{ft} / \mathrm{h})
g) \left(v_{A}-v\right) e\left(v_{B}-v\right)(\mathrm{ft} / \mathrm{h})
h) N, N_{A} e N_{B}\left(\frac{l b m o l}{h \cdot f t^{2}}\right)
i) n, n_{A} e n_{B}\left(\frac{l b m}{h \cdot f t^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado fornece uma mistura gasosa unidimensional de \mathrm{O}_2 (gás A) e \mathrm{CO}_2 (gás B) nas condições:
  • Temperatura: \;70~^\circ\mathrm{F}.
  • Pressão total: \;2~\mathrm{atm} (constante).
  • Fração molar do A: \;x_A=\dfrac{1}{4}.
  • Velocidades (velocidades molares das espécies, em um referencial fixo): \;v_A=20~\mathrm{ft/h} e \;v_B=-4~\mathrm{ft/h}.
O enunciado pede calcular os seguintes itens:
a) \;X_B (fração molar do B).
b) \;M,\;M_A e \;M_B (masas molares em \mathrm{lbm}/\mathrm{lbmol}).
c) \;C,\;C_A e \;C_B (concentrações molares em \mathrm{lbmol}/\mathrm{ft}^3).
d) \;w_A e \;w_B (frações mássicas).
e) \;\rho,\;\rho_A e \;\rho_B (densidades em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3).
f) \;(v_A-v^*) e (v_B-v^*) em \mathrm{ft/h}, onde v^* é a velocidade média em massa.
g) \;(v_A-v) e (v_B-v) em \mathrm{ft/h}, onde v é a velocidade média molar.
h) \;N,\;N_A e \;N_B em \mathrm{lbmol}/(h\cdot ft^2) (fluxos molares).
i) \;n,\;n_A e \;n_B em \mathrm{lbm}/(h\cdot ft^2) (fluxos mássicos).
Dados adicionais que serão usados (valores físicos e relações):
  • Converter temperatura: \;T(^{\circ}\mathrm{R})=T(^{\circ}\mathrm{F})+459{,}67.
  • Converter pressão: \;1~\mathrm{atm}=14{,}696~\mathrm{psia}.
  • Constante universal dos gases (usada com \mathrm{psia},\\ \mathrm{ft}^3,\\ \mathrm{lbmol},\\ ^\circ\mathrm{R}): \;R=10{,}73159~\dfrac{\mathrm{psia}\cdot\mathrm{ft}^3}{\mathrm{lbmol}\cdot{}^\circ\mathrm{R}}.
  • Lei dos gases ideais para concentração total: \;C=\dfrac{P}{R\,T} com C em \mathrm{lbmol}/\mathrm{ft}^3.
  • Relações de mistura: \;x_B=1-x_A, \;M=\sum x_i M_i, \;w_i=\dfrac{x_i M_i}{M}, \;\rho=C\,M, \;\rho_i=C_i M_i, \;C_i=x_i C.
  • Velocidade molar média: \;v=\sum x_i v_i.
  • Velocidade média em massa: \;v^*=\sum w_i v_i.
  • Fluxo molar de cada espécie (referencial fixo): \;N_i=C_i v_i. Fluxo molar total: \;N=\sum N_i=C v.
  • Fluxo mássico de cada espécie: \;n_i=N_i M_i. Fluxo mássico total: \;n=\sum n_i=\rho v^*.
A partir daqui vamos calcular passo a passo cada item, mostrando fórmulas, conversões e contas.

Passo 2

Calcular a fração molar do componente B:
x_B=1-x_A=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Passo 3

Determinar as massas molares dos gases (valores conhecidos da química):
  • Oxigênio molecular \mathrm{O}_2: cada átomo O tem massa atômica ≈ 16, logo \;M_A=2\times16=32\;\mathrm{lbm}/\mathrm{lbmol}.
  • Dióxido de carbono \mathrm{CO}_2: 1\times12+2\times16=44, logo \;M_B=44\;\mathrm{lbm}/\mathrm{lbmol}.
Média molar da mistura:
M=x_A M_A + x_B M_B =\frac{1}{4}\times32+\frac{3}{4}\times44 =8+33=41\;\mathrm{lbm}/\mathrm{lbmol}.
Explicação didática rápida: \;M é a massa média por mol de mistura; multiplica-se a fração molar de cada espécie pela sua massa molar e soma-se.

Passo 4

Calcular a concentração molar total \;C usando o gás ideal.
  1. Converter temperatura:
T=70^\circ\mathrm{F}+459{,}67=529{,}67\;^\circ\mathrm{R}.
  1. Converter pressão para \mathrm{psia}:
P=2~\mathrm{atm}=2\times14{,}696=29{,}392\;\mathrm{psia}.
  1. Aplicar a lei dos gases ideais:
C=\frac{P}{R\,T} =\frac{29{,}392}{10{,}73159\times529{,}67} \approx 0{,}005171906\;\mathrm{lbmol}/\mathrm{ft}^3.
Agora as concentrações parciais:
C_A=x_A C=\frac{1}{4}\times0{,}005171906 \approx0{,}0012929765\;\mathrm{lbmol}/\mathrm{ft}^3,
C_B=x_B C=\frac{3}{4}\times0{,}005171906 \approx0{,}0038789295\;\mathrm{lbmol}/\mathrm{ft}^3.
Comentário didático: \;C é o número total de mols por volume; \;C_i é a fração molar vezes C.

Passo 5

Calcular frações mássicas \;w_i. Fórmula:
w_i=\frac{x_i M_i}{M}.
Para A:
w_A=\frac{x_A M_A}{M}=\frac{\tfrac{1}{4}\times32}{41}=\frac{8}{41}\approx0{,}19512195.
Para B:
w_B=1-w_A=\frac{33}{41}\approx0{,}80487805.
Explicação: fração mássica é a fração da massa total que pertence à espécie; relaciona-se com fração molar pelo peso molecular.

Passo 6

Calcular densidades (massa por volume).
Densidade total:
\rho=C\,M=0{,}005171906\times41\approx0{,}21204815\;\mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3.
Densidades parciais:
\rho_A=C_A M_A\approx0{,}0012929765\times32\approx0{,}041375248\;\mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3,
\rho_B=C_B M_B\approx0{,}0038789295\times44\approx0{,}170672898\;\mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3.
Verificação rápida: \rho_A+\rho_B\approx0{,}21204815=\rho (compatível).
Didática: \rho = número de mols por volume vezes massa por mol.

Passo 7

Calcular as velocidades médias molar e mássica.
Velocidade molar média:
v=\sum x_i v_i = x_A v_A + x_B v_B =\frac{1}{4}\times20+\frac{3}{4}\times(-4) =5-3=2\;\mathrm{ft/h}.
Interpretação: se ponderarmos as velocidades pelas frações molares obtemos a velocidade média de mols.
Velocidade média em massa:
v^*=\sum w_i v_i = w_A v_A + w_B v_B =\frac{8}{41}\times20+\frac{33}{41}\times(-4) =\frac{160-132}{41}=\frac{28}{41}\approx0{,}68292683\;\mathrm{ft/h}.
Interpretação: agora as velocidades são ponderadas pelas frações mássicas (importante para fluxos mássicos).

Passo 8

Calcular as velocidades relativas (velocidades de difusão / velocidades relativas ao meio).
Relativas à velocidade média em massa v^*:
v_A-v^*=20-\frac{28}{41}=\frac{792}{41}\approx19{,}31707317\;\mathrm{ft/h},
v_B-v^*=-4-\frac{28}{41}=-\frac{192}{41}\approx-4{,}68292683\;\mathrm{ft/h}.
Relativas à velocidade média molar v:
v_A-v=20-2=18\;\mathrm{ft/h},
v_B-v=-4-2=-6\;\mathrm{ft/h}.
Comentário: sinais indicam sentido relativo (positivo no sentido positivo do referencial, negativo no sentido oposto).

Passo 9

Calcular fluxos molares e mássicos.
Fluxo molar de cada espécie (por unidade de área, referencial fixo):
N_i=C_i v_i.
Para A:
N_A=C_A v_A\approx0{,}0012929765\times20\approx0{,}02585953\;\mathrm{lbmol}/(h\cdot ft^2).
Para B:
N_B=C_B v_B\approx0{,}0038789295\times(-4)\approx-0{,}015515718\;\mathrm{lbmol}/(h\cdot ft^2).
Fluxo molar total:
N=N_A+N_B=C v\approx0{,}005171906\times2\approx0{,}010343812\;\mathrm{lbmol}/(h\cdot ft^2).
Fluxo mássico de cada espécie:
n_i=N_i M_i.
Para A:
n_A=N_A M_A\approx0{,}02585953\times32\approx0{,}82750496\;\mathrm{lbm}/(h\cdot ft^2).
Para B:
n_B=N_B M_B\approx(-0{,}015515718)\times44\approx-0{,}68268759\;\mathrm{lbm}/(h\cdot ft^2).
Fluxo mássico total:
n=n_A+n_B=\rho v^*\approx0{,}21204815\times0{,}68292683\approx0{,}14481737\;\mathrm{lbm}/(h\cdot ft^2).
Verificações: N=\sum N_i e n=\sum n_i conferem com os valores calculados.

Passo 10

Resumo numérico dos principais resultados (para conferência antes da resposta final). Todos os valores numéricos obtidos até aqui foram calculados passo a passo; agora aparecem organizados na seção de resposta.

Resposta

a) \;x_B=\dfrac{3}{4}.
b) \;M=41\;\mathrm{lbm}/\mathrm{lbmol},\;M_A=32\;\mathrm{lbm}/\mathrm{lbmol},\;M_B=44\;\mathrm{lbm}/\mathrm{lbmol}.
c) \;C\approx0{,}005171906\;\mathrm{lbmol}/\mathrm{ft}^3,\;C_A\approx0{,}0012929765\;\mathrm{lbmol}/\mathrm{ft}^3,\;C_B\approx0{,}0038789295\;\mathrm{lbmol}/\mathrm{ft}^3.
d) \;w_A=\dfrac{8}{41}\approx0{,}19512195,\;w_B=\dfrac{33}{41}\approx0{,}80487805.
e) \;\rho\approx0{,}21204815\;\mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3,\;\rho_A\approx0{,}041375248\;\mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3,\;\rho_B\approx0{,}170672898\;\mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3.
f) \;v_A-v^*\approx19{,}31707317\;\mathrm{ft/h},\;v_B-v^*\approx-4{,}68292683\;\mathrm{ft/h}.
g) \;v_A-v=18\;\mathrm{ft/h},\;v_B-v=-6\;\mathrm{ft/h}.
h) \;N\approx0{,}010343812\;\mathrm{lbmol}/(h\cdot ft^2),\;N_A\approx0{,}02585953\;\mathrm{lbmol}/(h\cdot ft^2),\;N_B\approx-0{,}015515718\;\mathrm{lbmol}/(h\cdot ft^2).
i) \;n\approx0{,}14481737\;\mathrm{lbm}/(h\cdot ft^2),\;n_A\approx0{,}82750496\;\mathrm{lbm}/(h\cdot ft^2),\;n_B\approx-0{,}68268759\;\mathrm{lbm}/(h\cdot ft^2).

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