Ex 4. (Resolva manualmente) Um jornal apresenta um artigo sobre uma provável contaminação da safra de morangos por carbonato, um defensivo agrícola tóxico. A Organização Mundial de Saúde (OMS) é responsável pela determinação dos limites de contaminação por carbonato e outros pesticidas, tendo estabelecido que morangos com nível médio de carbonato superior a 10 é considerado impróprio. Observando os dados da análise química de uma amostra de 31 morangos, verificou-se que a quantidade de carbonato foi em média igual a 11,5 unidades de carbonato com desvio padrão de 3,5 unidades.
a) Escreva a hipótese estatística que está sendo testada.
b) Os resultados descritivos apresentam evidências, ao nível de 1% de significância, de que os morangos dessa safra realmente estão contaminados, superando os limites estabelecidos pela OMS? Faça todos os cálculos e apresente a conclusão do teste.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) escrever a hipótese estatística que está sendo testada e (b) avaliar, ao nível de significância de 1\%, se os morangos estão contaminados (ou seja, se a média de carbonato da safra excede o limite da OMS).
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar em todos os cálculos:
\;n=31 (tamanho da amostra), \;\bar{x}=11{,}5 (média amostral), \;s=3{,}5 (desvio padrão amostral), \; limite OMS \;=\;10 (valor de referência), nível de significância \;\alpha=0{,}01.
Perguntas explícitas:
  • (a) quais são H_0 e H_1?
  • (b) com esses dados e \alpha=0{,}01, há evidência de que a média verdadeira excede 10?

Passo 2

Escolhendo o teste e escrevendo as hipóteses (sem calcular ainda).
Como queremos saber se a média real é maior que 10 e o desvio padrão populacional não é conhecido, o teste adequado é o teste t unilateral (cauda direita). As hipóteses são:
H_0: \mu = 10
H_1: \mu > 10
Explicação didática: \mu é a média verdadeira de carbonato na safra. H_0 afirma que a média está no limite da OMS; H_1 afirma que a média é maior (contaminação acima do permitido). É unilateral à direita porque só nos interessa se a média é maior que 10.

Passo 3

Definindo a estatística de teste e o raciocínio por trás dela.
Usamos a estatística t porque a variância populacional é desconhecida e n é finito. A fórmula é
t \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{\,s/\sqrt{n}\,}
onde:
\bar{x} = média amostral, \mu_0 = valor sob H_0 (aqui 10), s = desvio padrão amostral, n = tamanho da amostra.
Os graus de liberdade são \;df=n-1=31-1=30.

Passo 4

Calcular o erro padrão (denominador da estatística t). Vamos fazer passo a passo para você poder repetir na prova sem calculadora complicada.
Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{31}\approx 5{,}567764\ldots
Agora o erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}} \;=\; \frac{3{,}5}{\sqrt{31}} \;\approx\; \frac{3{,}5}{5{,}567764}\;\approx\;0{,}62854
Explicação: o erro padrão mede quanto a média amostral costuma variar de uma amostra para outra; é o desvio padrão da distribuição amostral da média.

Passo 5

Calcular a estatística t numérica usando os valores dados.
A diferença entre a média amostral e o valor da hipótese:
\bar{x}-\mu_0 = 11{,}5 - 10 = 1{,}5.
Agora a estatística t:
t \;=\; \frac{1{,}5}{0{,}62854} \;\approx\; 2{,}387
Interpretação: esse valor diz quantos erros-padrão a média amostral está acima de 10.

Passo 6

Encontrar o valor crítico para o teste unilateral com \alpha=0{,}01 e df=30, e comparar com a estatística calculada.
Pelo quadro de Student (t-table) para um teste unilateral de nível \alpha=0{,}01 e df=30, o valor crítico é aproximadamente
t_{0{,}99,\,30}\approx 2{,}457.
Regras de decisão: rejeita-se H_0 se t \ge t_{0{,}99,\,30}. Aqui temos t\approx 2{,}387 e t_{crit}\approx 2{,}457. Como
2{,}387 < 2{,}457,
não rejeitamos H_0 ao nível de 1\%.

Passo 7

Cálculo (aproximação) do p‑valor e interpretação adicional.
O p‑valor unilateral é p = 1 - F_{t_{30}}(t), onde F_{t_{30}} é a função de distribuição acumulada da t com 30 graus de liberdade. Pela comparação com a tabela, para t=2{,}387 obtemos um p‑valor unilateral aproximado
p\approx 0{,}011\quad(\text{aproximadamente}).
Comentário: este p é maior que \alpha=0{,}01, o que confirma a decisão de não rejeitar H_0. (O p‑valor bilateral seria aproximadamente 0{,}022.)
Observação motivadora: embora a amostra apresente média acima de 10, a evidência não é forte o bastante ao nível rigoroso de 1\%. Se o nível fosse \alpha=0{,}05, o valor crítico unilateral seria t_{0{,}95,30}\approx 1{,}697 e aí sim rejeitaríamos H_0 — então o resultado é “quase significativo” e vale investigação adicional.

Passo 8

Conclusão prática e interpretação em linguagem simples.
Com os dados da amostra ( n=31, \bar{x}=11{,}5, s=3{,}5) a estatística do teste foi t\approx 2{,}387 com df=30. Como esse valor é menor que o crítico t_{0{,}99,30}\approx 2{,}457 e o p‑valor unilateral \approx 0{,}011 é maior que \alpha=0{,}01, concluímos que, ao nível de significância de 1\%, não há evidência suficiente para afirmar que a média de carbonato da safra excede 10. Ou seja: não podemos, com tão alta confiança, declarar que a safra está contaminada acima do limite da OMS — embora haja indício (nível de significância menor, como 5\%, levaria à rejeição).

Resposta

(a) \;H_0:\mu=10, \;H_1:\mu>10.\n(b) Estatística t\approx 2{,}387 com df=30; valor crítico t_{0{,}99,30}\approx 2{,}457; p\approx 0{,}011>0{,}01. Conclusão: não rejeita‑se H_0 ao nível de 1\%; não há evidência estatística suficiente a 1\% de que a média excede 10.

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