Ex 4. (Resolva manualmente) Um jornal apresenta um artigo sobre uma provável contaminação da safra de morangos por carbonato, um defensivo agrícola tóxico. A Organização Mundial de Saúde (OMS) é responsável pela determinação dos limites de contaminação por carbonato e outros pesticidas, tendo estabelecido que morangos com nível médio de carbonato superior a 10 é considerado impróprio. Observando os dados da análise química de uma amostra de 31 morangos, verificou-se que a quantidade de carbonato foi em média igual a 11,5 unidades de carbonato com desvio padrão de 3,5 unidades.
a) Escreva a hipótese estatística que está sendo testada.
b) Os resultados descritivos apresentam evidências, ao nível de 1% de significância, de que os morangos dessa safra realmente estão contaminados, superando os limites estabelecidos pela OMS? Faça todos os cálculos e apresente a conclusão do teste.
a) Escreva a hipótese estatística que está sendo testada.
b) Os resultados descritivos apresentam evidências, ao nível de 1% de significância, de que os morangos dessa safra realmente estão contaminados, superando os limites estabelecidos pela OMS? Faça todos os cálculos e apresente a conclusão do teste.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) escrever a hipótese estatística que está sendo testada e (b) avaliar, ao nível de significância de
, se os morangos estão contaminados (ou seja, se a média de carbonato da safra excede o limite da OMS).
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar em todos os cálculos:
(tamanho da amostra),
(média amostral),
(desvio padrão amostral),
limite OMS
(valor de referência), nível de significância
.
Perguntas explícitas:
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar em todos os cálculos:
Perguntas explícitas:
- (a) quais são
e ? - (b) com esses dados e
, há evidência de que a média verdadeira excede 10?
Passo 2
Escolhendo o teste e escrevendo as hipóteses (sem calcular ainda).
Como queremos saber se a média real é maior que 10 e o desvio padrão populacional não é conhecido, o teste adequado é o teste t unilateral (cauda direita). As hipóteses são:
Como queremos saber se a média real é maior que 10 e o desvio padrão populacional não é conhecido, o teste adequado é o teste t unilateral (cauda direita). As hipóteses são:
Explicação didática:
é a média verdadeira de carbonato na safra.
afirma que a média está no limite da OMS;
afirma que a média é maior (contaminação acima do permitido). É unilateral à direita porque só nos interessa se a média é maior que 10.
Passo 3
Definindo a estatística de teste e o raciocínio por trás dela.
Usamos a estatística t porque a variância populacional é desconhecida e é finito. A fórmula é
Usamos a estatística t porque a variância populacional é desconhecida e
onde:
= média amostral,
= valor sob
(aqui
),
= desvio padrão amostral,
= tamanho da amostra.
Os graus de liberdade são .
Os graus de liberdade são
Passo 4
Calcular o erro padrão (denominador da estatística t). Vamos fazer passo a passo para você poder repetir na prova sem calculadora complicada.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora o erro padrão:
Explicação: o erro padrão mede quanto a média amostral costuma variar de uma amostra para outra; é o desvio padrão da distribuição amostral da média.
Passo 5
Calcular a estatística t numérica usando os valores dados.
A diferença entre a média amostral e o valor da hipótese:
A diferença entre a média amostral e o valor da hipótese:
Agora a estatística t:
Interpretação: esse valor diz quantos erros-padrão a média amostral está acima de
.
Passo 6
Encontrar o valor crítico para o teste unilateral com
e
, e comparar com a estatística calculada.
Pelo quadro de Student (t-table) para um teste unilateral de nível e
, o valor crítico é aproximadamente
Pelo quadro de Student (t-table) para um teste unilateral de nível
Regras de decisão: rejeita-se
se
. Aqui temos
e
. Como
não rejeitamos
ao nível de
.
Passo 7
Cálculo (aproximação) do p‑valor e interpretação adicional.
O p‑valor unilateral é , onde
é a função de distribuição acumulada da t com 30 graus de liberdade. Pela comparação com a tabela, para
obtemos um p‑valor unilateral aproximado
O p‑valor unilateral é
Comentário: este
é maior que
, o que confirma a decisão de não rejeitar
. (O p‑valor bilateral seria aproximadamente
.)
Observação motivadora: embora a amostra apresente média acima de 10, a evidência não é forte o bastante ao nível rigoroso de . Se o nível fosse
, o valor crítico unilateral seria
e aí sim rejeitaríamos
— então o resultado é “quase significativo” e vale investigação adicional.
Observação motivadora: embora a amostra apresente média acima de 10, a evidência não é forte o bastante ao nível rigoroso de
Passo 8
Conclusão prática e interpretação em linguagem simples.
Com os dados da amostra ( ,
,
) a estatística do teste foi
com
. Como esse valor é menor que o crítico
e o p‑valor unilateral
é maior que
, concluímos que, ao nível de significância de
, não há evidência suficiente para afirmar que a média de carbonato da safra excede
. Ou seja: não podemos, com tão alta confiança, declarar que a safra está contaminada acima do limite da OMS — embora haja indício (nível de significância menor, como
, levaria à rejeição).
Com os dados da amostra (
Resposta
(a)
,
.\n(b) Estatística
com
; valor crítico
;
. Conclusão: não rejeita‑se
ao nível de
; não há evidência estatística suficiente a
de que a média excede
.