Determinar o subespaço de
gerado pelos vetores
e
. obter uma base para aquele subespaço.
Passo 1
O enunciado pede o subespaço de
gerado pelos vetores
,
ou seja, todas as combinações lineares desses vetores. Vamos usar teoria de combinação linear para testar dependência, extrair um conjunto independente e, com isso, obter uma base.
ou seja, todas as combinações lineares desses vetores. Vamos usar teoria de combinação linear para testar dependência, extrair um conjunto independente e, com isso, obter uma base.
Passo 2
Procuramos escrever
como combinação de
e
. Queremos
tais que
Isso é
Igualando coordenadas obtemos
o que de fato satisfaz
. Logo
mostrando que
é combinação de
.
Passo 3
Como
se expressa em termos de
, basta verificar se estes dois são independentes. Suponha
.
Isso dá o sistema
Isso dá o sistema
isto é
e
e
. Logo
, o que prova que
e
são independentes.
Passo 4
Concluímos que o subespaço gerado por
é o mesmo que o gerado por
, de dimensão 2. Em forma paramétrica, todo vetor tem coordenadas
,
logo satisfaz . Assim o subespaço é o plano
.
logo satisfaz
Resposta
O subespaço gerado é
e uma base é