Determinar o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores v_{1}=(1,-1,2), v_{2}=(0,-1,1) e v_{3}=(1,1,0). obter uma base para aquele subespaço.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores \;v_{1}=(1,-1,2),\;v_{2}=(0,-1,1),\;v_{3}=(1,1,0),
ou seja, todas as combinações lineares desses vetores. Vamos usar teoria de combinação linear para testar dependência, extrair um conjunto independente e, com isso, obter uma base.

Passo 2

Procuramos escrever v_{1} como combinação de v_{2} e v_{3}. Queremos \alpha,\beta tais que
\alpha\,v_{2}+\beta\,v_{3}=v_{1}.
Isso é
\alpha\,(0,-1,1)+\beta\,(1,1,0)=(1,-1,2).
Igualando coordenadas obtemos
\beta=1,\quad -\alpha+\beta=-1,\quad \alpha=2,
o que de fato satisfaz -2+1=-1. Logo
v_{1}=2\,v_{2}+1\,v_{3},
mostrando que v_{1} é combinação de v_{2},v_{3}.

Passo 3

Como v_{1} se expressa em termos de v_{2},v_{3}, basta verificar se estes dois são independentes. Suponha \gamma\,v_{2}+\delta\,v_{3}=0.
Isso dá o sistema
\gamma\,(0,-1,1)+\delta\,(1,1,0)=(0,0,0),
isto é \delta=0 e -\gamma+\delta=0 e \gamma=0. Logo \gamma=\delta=0, o que prova que v_{2} e v_{3} são independentes.

Passo 4

Concluímos que o subespaço gerado por \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é o mesmo que o gerado por \{v_{2},v_{3}\}, de dimensão 2. Em forma paramétrica, todo vetor tem coordenadas (x,y,z)=s\,(1,1,0)+t\,(0,-1,1)=(s,\,s-t,\,t),
logo satisfaz y=x-z. Assim o subespaço é o plano y=x-z.

Resposta

O subespaço gerado é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid y=x-z\},
e uma base é
\{(0,-1,1),\;(1,1,0)\}.

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