Sabendo que v_{1}, v_{2} \mathrm{e} v_{3} são vetores linearmente independentes do espaço vetorial V. Investigar a dependência ou independência linear dos seguintes vetores
\left\{v_{1}, v_{2}+a v_{3}, v_{3}+b v_{2}\right\}

Passo 1

O enunciado dá três vetores em V:
v_{1},\quad v_{2}+a\,v_{3},\quad v_{3}+b\,v_{2},
sabendo que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é um conjunto linearmente independente. O objetivo é investigar para quais valores de a e b o novo conjunto também é independente ou torna-se dependente. Vamos usar o teste da combinação linear nula.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica que deve dar zero:
c_{1}\,v_{1}+c_{2}\bigl(v_{2}+a\,v_{3}\bigr)+c_{3}\bigl(v_{3}+b\,v_{2}\bigr)=0.
Em seguida, expandimos:
c_{1}\,v_{1} \;+\; c_{2}\,v_{2} \;+\; a\,c_{2}\,v_{3} \;+\; c_{3}\,v_{3} \;+\; b\,c_{3}\,v_{2}=0.

Passo 3

Como v_{1},v_{2},v_{3} são independentes, cada coeficiente em
c_{1}\,v_{1} \;+\;(c_{2}+b\,c_{3})\,v_{2} \;+\;(a\,c_{2}+c_{3})\,v_{3}=0
deve ser zero. Logo obtemos o sistema
\begin{cases} c_{1}=0,\\\ c_{2}+b\,c_{3}=0,\\\ a\,c_{2}+c_{3}=0. \end{cases}

Passo 4

As duas últimas equações formam um sistema em (c_{2},c_{3}):
\begin{pmatrix} 1 & b\\\ a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_{2}\c_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det = 1\cdot1 - a\,b = 1 - a\,b.

Passo 5

  • Se 1 - a\,b \neq 0, o sistema só tem a solução trivial c_{2}=c_{3}=0. Juntamente com c_{1}=0, isso implica independência linear.
  • Se 1 - a\,b = 0 (ou seja, a\,b=1), o sistema admite soluções não-triviais em (c_{2},c_{3}), logo o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto \{v_{1},\,v_{2}+a\,v_{3},\,v_{3}+b\,v_{2}\} é
independente linearmente se, e somente se,
a\,b \neq 1,
e torna-se dependente exatamente quando
a\,b = 1.

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