(a) Comprove que (4+3 i)^2=7+24 i.
(b) Use a parte (a) para determinar os dois valores de (7+24 i)^1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que elevando o número complexo 4+3i ao quadrado obtemos 7+24i (parte a) e, em seguida, usar esse resultado para encontrar as duas raízes quadradas de 7+24i (parte b). Vamos usar as propriedades de soma e produto em C e a noção de que uma equação z^2=w tem duas soluções opostas.

Passo 2

Para a parte (a), aplicamos a distributiva ao produto (4+3i)^2:
(4+3i)^2 = (4+3i)(4+3i) = 4cdot4 + 4cdot3i + 3icdot4 + 3icdot3i
Em seguida, simplificamos cada termo e lembramos que i^2=-1:
(4+3i)^2 = 16 + 12i + 12i + 9i^2 = 16 + 24i + 9(-1) = 16 + 24i - 9 = 7 + 24i

Passo 3

Para a parte (b), como descobrimos que (4+3i)^2 = 7+24i, segue que 4+3i é uma raiz quadrada de 7+24i. Na álgebra de complexos, a equação z^2 = w sempre possui duas soluções: se z0^2 = w, então as soluções são z0 e -z0.

Passo 4

Logo, as duas raízes quadradas de 7+24i são 4+3i e -4-3i.

Resposta

As raízes são 4+3i e -4-3i.

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