Determine a equação vetorial da reta tangente à trajetória da função
[
\vec{r}(t)=\frac{1}{t} \vec{i}+\frac{1}{t} \vec{j}+t^{2} \vec{k}, t=2 .

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta tangente à curva definida por vec r(t)=tfrac1t,vec i+tfrac1t,vec j+t^2,vec k no ponto em que t=2. O conteúdo é derivada de função vetorial e reta tangente, e vamos precisar de vec r'(t) e do ponto vec r(2) para montar a reta.

Passo 2

Para achar a direção da reta tangente, calculamos a derivada componente a componente. Temos:
vec r'(t)=ddtl(tfrac1t,vec i+tfrac1t,vec j+t^2,vec kr)= -1t^2,vec i -1t^2,vec j +2t,vec k

Passo 3

Agora avaliamos tanto vec r(2) quanto vec r'(2):
vec r(2)=tfrac12,vec i+tfrac12,vec j+4,vec k,vec r'(2)=-tfrac14,vec i-tfrac14,vec j+4,vec k

Passo 4

Por fim, a reta tangente em t=2 tem equação vetorial dada por um ponto mais um parâmetro vezes o vetor direção:
vec rtan>=nte(s)=vec r(2)+s,vec r'(2)=l(tfrac12,vec i+tfrac12,vec j+4,vec kr)+sl(-tfrac14,vec i-tfrac14,vec j+4,vec kr)

Resposta

vec rtan>=nte(s)=l(tfrac12,vec i+tfrac12,vec j+4,vec kr)+sl(-tfrac14,vec i-tfrac14,vec j+4,vec kr)

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