Nos Problemas 1-14, use (4) para calcular todas as raízes. Em cada caso, determine a raiz n-ésima principal. Posicione as raízes w0, w1, ldots, wn-1 em uma circunferência apropriada e centrada na origem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes sextas de z=1+iraiz3+i, determinar a raiz principal (correspondente a k=0) e mostrar que elas se situam em uma circunferência centrada na origem. Vamos usar forma polar e a fórmula geral de raízes n-ésimas de um número complexo.

Passo 2

Primeiro racionalizamos o denominador de z:

Passo 3

Em seguida, calculamos módulo e argumento de z.
|z|=raizl(raiz3+14r)^2+l(raiz3-14r)^2=raiz816=1raiz2,
arg z=arctanl(raiz3-1raiz3+1r)=arctan(2-raiz3)=pi12

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula das raízes sextas: se z=|z|e^itheta, então
wk=|z|^1/6,e^i(theta+2pi k)/6, k=0,1,dots,5

Passo 5

Calculando
|z|^1/6=l(2^-1/2r)^1/6=2^-1/12,(theta+2pi k)/6=pi/12+2pi k6=pi72+pi k3

Passo 6

Portanto as seis raízes são igualmente espaçadas em uma circunferência de raio 2^-1/12, com argumentos pi/72+pi k/3.

Resposta

As raízes sextas são
wk=2^-1/12,e^il(pi/72+pi k/3r), k=0,1,dots,5
A raiz principal (com k=0) é
w0=2^-1/12e^ipi/72

Exercícios relacionados