Comprove as desigualdades simultâneas dadas.
Se |z|=1, então .

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um número complexo z com |z|=1, vale a desigualdade 2 <= |z^2 - 3| <= 4. O conteúdo principal envolve o valor absoluto de complexos e as desigualdades triangular direta e reversa.

Passo 2

Para obter o limite superior, aplicamos a desigualdade triangular direta: para quaisquer complexos a e b, |a + b| <= |a| + |b|. Tomando a = z^2 e b = -3, temos
|z^2 - 3| <= |z^2| + |-3| = |z|^2 + 3 = 1 + 3 = 4

Passo 3

Para o limite inferior, usamos a desigualdade triangular reversa: para quaisquer complexos a e b, |a - b| >= l||a| - |b|r|. Com a = z^2 e b = 3, vem
|z^2 - 3| >= l||z^2| - |3|r| = |1 - 3| = 2

Passo 4

Combinando os dois resultados, concluímos que para todo z com |z|=1 vale
2 <= |z^2 - 3| <= 4

Resposta

2 <= |z^2 - 3| <= 4

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