Exercício 6: Calcule.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto+infty(x+2x+1)^x. O conteúdo aqui é limites de funções na forma indeterminada 1^infty, e vamos precisar usar a técnica de reescrever a potência como exponencial, aplicando logaritmo e o limite fundamental de ln(1+u)/u.

Passo 2

Observando que x+2x+1to1 quando xto+infty e o expoente xto+infty, identificamos a indeterminação do tipo 1^infty. Para resolver, definimos L=limxto+inftyl(tfracx+2x+1r)^x e escrevemos
L=expl(limxto+inftyxlnl(tfracx+2x+1r)r)

Passo 3

Dentro do logaritmo simplificamos a fração:
x+2x+1=1+1x+1, então
ln L=limxto+inftyxlnl(1+1x+1r)

Passo 4

Para calcular limxto+inftyxln(1+1/(x+1)), note que para u=1/(x+1) temos uto0 e
xln(1+u)=l(1u-1r)ln(1+u)=ln(1+u)u-ln(1+u)

Passo 5

Usamos o limite fundamental limuto0ln(1+u)u=1 e ln(1+u)to0, logo
ln L=1-0=1

Passo 6

Portanto
L=exp(1)=e

Resposta

e

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