Comprove as desigualdades simultâneas dadas.
Se |z|=2, então 8 <=|z+6+8 i| <= 12.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um número complexo z com |z|=2, temos simultaneamente 8<=|z+6+8i|<=12. O conteúdo principal envolve desigualdades triangulares na geometria de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude do número complexo 6+8i e relembrar as desigualdades triangulares. Sabemos que
|6+8i|=raiz6^2+8^2=raiz36+64=10

Passo 3

As desigualdades triangulares que vamos usar são: para quaisquer complexos a e b,
|a+b|<=|a|+|b|e|a+b|>=l||a|-|b|r|

Passo 4

Para o limite superior, aplicamos |a+b|<=|a|+|b| com a=6+8i e b=z:
|z+(6+8i)|<=|z|+|6+8i|=2+10=12

Passo 5

Para o limite inferior, usamos |a+b|>=||a|-|b|| nos mesmos a e b:
|z+(6+8i)|>=l||6+8i|-|z|r|=|10-2|=8

Resposta

8 \le |z+6+8i| \le 12

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