Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência an=l(1+1n^2r)^n converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o limite. O conteúdo aqui é limite de sequências do tipo (1+varepsilonn)^alphan e vamos precisar usar a definição de exponencial via logaritmo.

Passo 2

Começamos escrevendo an como exponencial para facilitar o cálculo do limite:
Pegando logaritmo e usando expansão em série de Taylor para ln(1+x) quando xto0, temos
ln an = nlnl(1+1n^2r)

Passo 3

Como ln(1+x)=x-tfracx^22+o(x^2), substituímos x=1/n^2 e obtemos
ln an = nl(1n^2-12n^4+ol(tfrac1n^4r)r)=1n-12n^3+ol(tfrac1n^3r)

Passo 4

Logo, ln anto0 quando ntoinfty. Então
an=exp(ln an)toexp(0)=1

Resposta

Converge e limntoinftyan=1.

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