Comprove, utilizando as definições de concentrações, as seguintes relações:
d)
d)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para comprovar uma relação envolvendo concentrações e fluxos de duas espécies, A e B. A equação que queremos provar é:
Isso está ligado ao estudo de transportes de massa em misturas, onde a gente lida com fluxos de diferentes componentes. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de fluxo de massa e como as velocidades de cada componente se relacionam com a velocidade total da mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo de massa. O fluxo de massa $ J $ de uma espécie em uma direção específica é a quantidade de massa dessa espécie que passa por uma área unitária por unidade de tempo. Matematicamente, podemos escrever:
e
Onde:
- $ \rho_{A} $ e $ \rho_{B} $ são as densidades das espécies A e B, respectivamente.
- $ \vec{v}{A} $ e $ \vec{v}{B} $ são as velocidades das espécies A e B, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos considerar que a mistura total tem uma densidade $ \rho $ e uma velocidade média $ \vec{V} $. A densidade total é a soma das densidades individuais:
E a velocidade média da mistura pode ser definida como:
Passo 4
Queremos expressar $ J_{A} + J_{B} $ em termos de $ \rho $ e $ \vec{V} $. Vamos somar os fluxos de A e B:
Isso pode ser reescrito usando a definição de $ \vec{V} $:
Passo 5
No entanto, o exercício pede para expressar em termos de $ C(\vec{v} - \vec{V}) $. Aqui, $ C $ representa a concentração total e $ \vec{v} $ é a velocidade de referência (ou uma velocidade específica). Para ajustar a equação, consideramos:
Isso mostra que a soma dos fluxos das espécies A e B é igual à concentração total vezes a diferença entre a velocidade de referência e a velocidade média da mistura.
Resposta
Assim, comprovamos que: