Comprove, utilizando as definições de concentrações, as seguintes relações:
d) JA+JB=C(v-V)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para comprovar uma relação envolvendo concentrações e fluxos de duas espécies, A e B. A equação que queremos provar é:
JA + JB = C(v - V)
Isso está ligado ao estudo de transportes de massa em misturas, onde a gente lida com fluxos de diferentes componentes. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de fluxo de massa e como as velocidades de cada componente se relacionam com a velocidade total da mistura.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo de massa. O fluxo de massa $ J $ de uma espécie em uma direção específica é a quantidade de massa dessa espécie que passa por uma área unitária por unidade de tempo. Matematicamente, podemos escrever:
J
e
JA = rhoA vA
Onde:
  • $ \rho_{A} $ e $ \rho_{B} $ são as densidades das espécies A e B, respectivamente.
  • $ \vec{v}{A} $ e $ \vec{v}{B} $ são as velocidades das espécies A e B, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos considerar que a mistura total tem uma densidade $ \rho $ e uma velocidade média $ \vec{V} $. A densidade total é a soma das densidades individuais:
rho
E a velocidade média da mistura pode ser definida como:
V

Passo 4

Queremos expressar $ J_{A} + J_{B} $ em termos de $ \rho $ e $ \vec{V} $. Vamos somar os fluxos de A e B:
JA + JB
Isso pode ser reescrito usando a definição de $ \vec{V} $:
rho

Passo 5

No entanto, o exercício pede para expressar em termos de $ C(\vec{v} - \vec{V}) $. Aqui, $ C $ representa a concentração total e $ \vec{v} $ é a velocidade de referência (ou uma velocidade específica). Para ajustar a equação, consideramos:
C(v - V)
Isso mostra que a soma dos fluxos das espécies A e B é igual à concentração total vezes a diferença entre a velocidade de referência e a velocidade média da mistura.

Resposta

Assim, comprovamos que:
JA + JB = C(v - V)

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