(Computação gráfica) Na atualidade, a maioria das pessoas dispõe de smartphones que possuem câmeras para registrar fotos (como selfies), vídeos curtos e longos, além de registros de terceiros, etc. Com a intensa utilização das redes sociais, muitas vezes é necessário realizar ajustes nesses registros - como rotacionar, redimensionar, cortar, entre outros. Atualmente, esses processos levam poucos minutos ou até segundos, dependendo da tarefa. Mas será que sempre foi assim? Uma das grandes aplicações da Ảlgebra Linear está na computação gráfica, permitindo a manipulação eficiente de imagens e vídeos.
A seguir, encontre soluções para problemas desta natureza utilizando operações básicas com matrizes:
(a) Rotacionar uma imagem: Suponha que você tenha uma imagem representada por um conjunto de pontos em um plano 2D. Para rotacionar essa imagem em 90 graus no sentido horário, determine a matriz de rotação e aplique-a no ponto P=(x, y) da imagem. Encontre a nova posição P^prime=(x^prime, y^prime) após a rotação.

Passo 1

O enunciado pede para rotacionar uma imagem em 90 graus no sentido horário no plano 2D. Cada ponto P=(x,y) da imagem sofre uma transformação linear dada por uma matriz de rotação. Nosso conteúdo é Álgebra Linear (rotações e matrizes) e vamos precisar:
1. Conhecer a forma geral da matriz de rotação em duas dimensões;
2. Substituir o ângulo correspondente a 90circ no sentido horário;
3. Multiplicar essa matriz pelo vetor coluna l(x,yr)^T.

Passo 2

A matriz geral de rotação no plano por um ângulo theta (no sentido anti-horário) é
R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta
Para rotacionar 90^circ no sentido horário, usamos theta = -90^circ. Sabemos que
cos(-90^circ) = 0, sin(-90^circ) = -1
Então a matriz de rotação desejada é
Rcw 90 = R(-90^circ) = 0 & -(-1) -1 & 0 = 0 & 1 -1 & 0

Passo 3

Agora aplicamos Rcw 90 ao ponto P=(x,y), visto como vetor coluna l(x,yr)^T:
0 & 1 -1 & 0 x y = 0cdot x + 1cdot y -1cdot x + 0cdot y = y -,x

Resposta

A nova posição do ponto após a rotação de 90circ no sentido horário é
P' = l(y,,-xr)

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