a. Compute
\left\langle\left(\Delta S_{x}\right)^{2}\right\rangle \equiv\left\langle S_{x}^{2}\right\rangle-\left\langle S_{x}\right\rangle^{2}
where the expectation value is taken for the S_{z}+ state. Using your result, check the generalized uncertainty relation
\left\langle(\Delta A)^{2}\right\rangle\left\langle(\Delta B)^{2}\right\rangle \geq \frac{1}{4}|\langle[A, B]\rangle|^{2},
with A \rightarrow S_{x}, B \rightarrow S_{y}.

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a variância de S_x no estado |S_z+\rangle, isto é
\left\langle\left(\Delta S_{x}\right)^{2}\right\rangle \equiv \left\langle S_{x}^{2}\right\rangle - \left\langle S_{x}\right\rangle^{2}.
  • Em seguida pede verificar a desigualdade de incerteza generalizada
\left\langle(\Delta A)^{2}\right\rangle\left\langle(\Delta B)^{2}\right\rangle \geq \frac{1}{4}\left|\langle[A,B]\rangle\right|^{2}
para A\rightarrow S_x e B\rightarrow S_y, usando as quantidades calculadas.
  • Informação dada usada explicitamente: o estado do sistema é |S_z+\rangle (spin 1/2, “spin up” ao longo de z).

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Operadores de spin para spin- 1/2: \;S_i=\dfrac{\hbar}{2}\sigma_i\; para i=x,y,z, onde \sigma_i são as matrizes de Pauli.
  • Estado |S_z+\rangle na base própria de S_z é
|S_z+\rangle = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Expectation value (valor esperado) de um operador A num estado |\psi\rangle é
\langle A\rangle = \langle \psi|A|\psi\rangle.
  • Variância de A é \langle(\Delta A)^2\rangle = \langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2.
  • Comutador é definido por [A,B]=AB-BA.
  • As matrizes de Pauli são (vou escrevê-las explicitamente porque vamos usá-las):
\sigma_x=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad \sigma_y=\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt]i & 0\end{pmatrix},\qquad \sigma_z=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
  • Propriedade útil: \sigma_i^2 = I (a matriz identidade), para i=x,y,z.]

Passo 3

Calcular \langle S_x\rangle no estado |S_z+\rangle:
  • Escrevendo S_x=\dfrac{\hbar}{2}\sigma_x, temos
\langle S_x\rangle = \left\langle S_z+ \left| \frac{\hbar}{2}\sigma_x \right| S_z+\right\rangle = \frac{\hbar}{2}\langle S_z+|\sigma_x|S_z+\rangle.
  • Aplicando \sigma_x ao vetor |S_z+\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}:
\sigma_x\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Agora o produto interno com \langle S_z+|=(1\;0)
\langle S_z+|\sigma_x|S_z+\rangle=(1\;0)\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=0.
  • Portanto
\langle S_x\rangle = \frac{\hbar}{2}\cdot 0 = 0.]

Passo 4

Calcular \langle S_x^{2}\rangle:
  • Usamos S_x^2=\left(\dfrac{\hbar}{2}\right)^2\sigma_x^2 e a propriedade \sigma_x^2=I. Logo
\langle S_x^2\rangle = \left(\frac{\hbar}{2}\right)^2 \langle S_z+|I|S_z+\rangle = \left(\frac{\hbar}{2}\right)^2 \langle S_z+|S_z+\rangle.
  • O estado está normalizado, \langle S_z+|S_z+\rangle=1. Assim
\langle S_x^2\rangle = \left(\frac{\hbar}{2}\right)^2 = \frac{\hbar^2}{4}.

Passo 5

Calcular a variância \left\langle\left(\Delta S_x\right)^{2}\right\rangle:
  • Pela definição,
\left\langle\left(\Delta S_x\right)^{2}\right\rangle = \langle S_x^2\rangle - \langle S_x\rangle^2.
  • Substituindo os valores que achamos:
\left\langle\left(\Delta S_x\right)^{2}\right\rangle = \frac{\hbar^2}{4} - 0^2 = \frac{\hbar^2}{4}.

Passo 6

Obter \left\langle\left(\Delta S_y\right)^{2}\right\rangle por simetria (ou calcular diretamente):
  • Pelo mesmo raciocínio, S_y=\dfrac{\hbar}{2}\sigma_y e \sigma_y^2=I. Além disso \langle S_y\rangle=\dfrac{\hbar}{2}\langle S_z+|\sigma_y|S_z+\rangle e \sigma_y|S_z+\rangle=\begin{pmatrix}0\\[4pt]i\end{pmatrix} dá produto interno zero, logo \langle S_y\rangle=0.
  • Portanto
\left\langle\left(\Delta S_y\right)^{2}\right\rangle = \frac{\hbar^2}{4}.]

Passo 7

Calcular o comutador [S_x,S_y] e sua expectativa:
  • Usando S_i=\dfrac{\hbar}{2}\sigma_i e a identidade [\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z, segue
[S_x,S_y]=\frac{\hbar^2}{4}[\sigma_x,\sigma_y] = \frac{\hbar^2}{4}\cdot 2i\sigma_z = i\hbar\left(\frac{\hbar}{2}\sigma_z\right)=i\hbar S_z.
  • Tomando expectativa em |S_z+\rangle:
\langle [S_x,S_y]\rangle = i\hbar \langle S_z\rangle.
  • E \langle S_z\rangle em |S_z+\rangle é \dfrac{\hbar}{2} (porque S_z|S_z+\rangle=(\hbar/2)|S_z+\rangle). Assim
\langle [S_x,S_y]\rangle = i\hbar\cdot\frac{\hbar}{2} = i\frac{\hbar^2}{2}.
  • O módulo ao quadrado é
\left|\langle [S_x,S_y]\rangle\right|^{2} = \left|i\frac{\hbar^2}{2}\right|^{2} = \frac{\hbar^4}{4}.

Passo 8

Verificar a desigualdade de incerteza:
  • LHS (produto das variâncias):
\left\langle(\Delta S_x)^2\right\rangle\left\langle(\Delta S_y)^2\right\rangle = \frac{\hbar^2}{4}\cdot\frac{\hbar^2}{4} = \frac{\hbar^4}{16}.
  • RHS (direita da desigualdade):
\frac{1}{4}\left|\langle [S_x,S_y]\rangle\right|^{2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\hbar^4}{4} = \frac{\hbar^4}{16}.
  • Conclusão: LHS = RHS, logo a desigualdade é satisfeita e, neste caso, é saturada (torna-se igualdade).

Resposta

\left\langle\left(\Delta S_{x}\right)^{2}\right\rangle=\dfrac{\hbar^{2}}{4}.
\left\langle(\Delta S_{x})^{2}\right\rangle\left\langle(\Delta S_{y})^{2}\right\rangle=\dfrac{\hbar^{4}}{16}=\dfrac{1}{4}\left|\langle [S_{x},S_{y}]\rangle\right|^{2} (a desigualdade é satisfeita com igualdade).

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