Evaluate the x-p uncertainty product \left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle for a onedimensional particle confined between two rigid walls
V= \begin{cases}0 & \text { for } 0<x<a, \\\ \infty & \text { otherwise } .\end{cases}
Do this for both the ground and excited states.

Passo 1

O problema dá o potencial de poço infinito unidimensional
V(x)=\begin{cases}0 & \text{para }0<x<a,\\\ \infty & \text{caso contrário,}\end{cases}á
e pede para calcular o produto de incertezas \langle(\Delta x)^2\rangle\langle(\Delta p)^2\rangle para o estado fundamental e para os estados excitados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A partícula está confinada no intervalo [0,a] com paredes rígidas (função de onda nula fora e nas paredes).
  • Deve-se considerar os estados estacionários permitidos por esse poço e calcular as incertezas em x e p, e seu produto.
    O que será calculado: \langle x\rangle, \langle x^2\rangle, \langle p\rangle, \langle p^2\rangle, depois (\Delta x)^2=\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2, (\Delta p)^2=\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2 e finalmente o produto.

Passo 2

Caracterizar os autofunções e autovalores do poço infinito (valores que vou usar nos cálculos). As funções de onda estacionárias normalizadas são (essas vêm da solução da equação de Schrödinger com \psi(0)=\psi(a)=0):
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad n=1,2,3,\dots
Os níveis de energia correspondentes são
E_n=\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2 m a^2}.
Essas fórmulas satisfazem as condições de contorno e estão normalizadas em [0,a]. Vou usá-las para calcular as expectativas.

Passo 3

Calcular \langle x\rangle. Pela definição de valor esperado,
\langle x\rangle=\int_{0}^{a}\psi_n^*(x)\,x\,\psi_n(x)\,dx=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} x\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx.
Uso a identidade \sin^2\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta). Assim
\langle x\rangle=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} x\cdot\frac{1-\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)}{2}\,dx =\frac{1}{a}\left[\int_{0}^{a} x\,dx-\int_{0}^{a} x\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)\,dx\right].
Calculo as integrais: \int_{0}^{a} x\,dx=\tfrac{a^2}{2}. Para a segunda,
defino k=\dfrac{2n\pi}{a} e uso
\int x\cos(kx)\,dx=\frac{x\sin(kx)}{k}+\frac{\cos(kx)}{k^2}+C.
Avalio de 0 a a: em x=a temos \sin(ka)=\sin(2n\pi)=0 e \cos(ka)=1; em x=0 temos \cos0=1. Então a diferença é zero. Portanto a segunda integral é zero e
\langle x\rangle=\frac{1}{a}\cdot\frac{a^2}{2}=\frac{a}{2}.
Interpretação: centro do poço é a/2, então o valor médio da posição é \tfrac{a}{2} para qualquer n.

Passo 4

Calcular \langle x^2\rangle. Pela definição,
\langle x^2\rangle=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} x^2\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx =\frac{1}{a}\left[\int_{0}^{a} x^2\,dx-\int_{0}^{a} x^2\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)\,dx\right].
A primeira integral é \int_0^a x^2 dx = \tfrac{a^3}{3}. Resta calcular
I=\int_{0}^{a} x^2\cos(kx)\,dx,\qquad k=\frac{2n\pi}{a}.
Faço integração por partes duas vezes. Primeiro, com u=x^2, dv=\cos(kx)dx:
I=\frac{x^2\sin(kx)}{k}-\frac{2}{k}\int x\sin(kx)\,dx.
Agora \int x\sin(kx)\,dx por partes com u=x, dv=\sin(kx)dx:
\int x\sin(kx)\,dx=-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^2}.
Substituindo em I obtemos (agrupar termos):
I=\frac{x^2\sin(kx)}{k}+\frac{2x\cos(kx)}{k^2}-\frac{2\sin(kx)}{k^3}\Bigg|_{0}^{a}.
Avalio nos limites: para x=a temos \sin(ka)=\sin(2n\pi)=0 e \cos(ka)=1; para x=0 os termos que sobrevivem são nulos porque multiplicados por x ou \sin0=0. Então
I=\frac{2a}{k^2}.
Substituindo em \langle x^2\rangle:
\langle x^2\rangle=\frac{1}{a}\left(\frac{a^3}{3}-\frac{2a}{k^2}\right) =\frac{a^2}{3}-\frac{2}{k^2}.
Agora substituir k^2=\dfrac{4n^2\pi^2}{a^2}:
\frac{2}{k^2}=2\cdot\frac{a^2}{4n^2\pi^2}=\frac{a^2}{2n^2\pi^2}.
Portanto
\langle x^2\rangle=a^2\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right).

Passo 5

Calcular (\Delta x)^2. Usando (\Delta x)^2=\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2 e \langle x\rangle=\tfrac{a}{2}:
(\Delta x)^2=a^2\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right)-\left(\frac{a}{2}\right)^2 =a^2\!\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right).

Passo 6

Calcular \langle p\rangle. Operador momento unidimensional é \hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}. Para autovetores reais como \psi_n(x) tem-se a identidade útil:
\langle p\rangle=-i\hbar\int_0^a \psi_n^*(x)\frac{d\psi_n}{dx}\,dx =-\frac{i\hbar}{2}\int_0^a \frac{d}{dx}\big(\psi_n^2(x)\big)\,dx =-\frac{i\hbar}{2}\big[\psi_n^2(x)\big]_{0}^{a}.
Como \psi_n(0)=\psi_n(a)=0, o resultado é zero:
\langle p\rangle=0.

Passo 7

Calcular \langle p^2\rangle. Usar a relação com a energia: dentro do poço V=0 e \hat H=\hat p^2/(2m) portanto
\hat H\psi_n=E_n\psi_n \quad\Rightarrow\quad \frac{\langle p^2\rangle}{2m}=E_n.
Logo
\langle p^2\rangle=2mE_n=2m\cdot\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2 m a^2}=\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{a^2}.
Assim
(\Delta p)^2=\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2=\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{a^2}.

Passo 8

Calcular o produto (\Delta x)^2(\Delta p)^2. Multiplico as expressões obtidas:
(\Delta x)^2(\Delta p)^2 =\left[a^2\!\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right)\right]\cdot\left[\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{a^2}\right].
Cancelando a^2 e simplificando:
(\Delta x)^2(\Delta p)^2=\hbar^2\left(\frac{\pi^2 n^2}{12}-\frac{1}{2}\right) =\frac{\hbar^2}{12}\big(\pi^2 n^2-6\big).

Passo 9

Resultados específicos:
  • Para o estado fundamental n=1:
(\Delta x)^2(\Delta p)^2=\hbar^2\left(\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\right) =\frac{\hbar^2}{12}\big(\pi^2-6\big)\approx 0{,}322\\ \hbar^2.
  • Para um estado excitado geral n:
(\Delta x)^2(\Delta p)^2=\hbar^2\left(\frac{\pi^2 n^2}{12}-\frac{1}{2}\right) =\frac{\hbar^2}{12}\big(\pi^2 n^2-6\big).

Resposta

\text{Estado fundamental }(n=1):\\ (\Delta x)^2(\Delta p)^2=\dfrac{\hbar^2}{12}\big(\pi^2-6\big)\approx0{,}322\,\hbar^2\n
\text{Estado excitado }(n):\\ (\Delta x)^2(\Delta p)^2=\dfrac{\hbar^2}{12}\big(\pi^2 n^2-6\big)

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