Evaluate the x-p uncertainty product \left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle for a onedimensional particle confined between two rigid walls
e pede para calcular o produto de incertezas \langle(\Delta x)^2\rangle\langle(\Delta p)^2\rangle para o estado fundamental e para os estados excitados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A partícula está confinada no intervalo [0,a] com paredes rígidas (função de onda nula fora e nas paredes).
Deve-se considerar os estados estacionários permitidos por esse poço e calcular as incertezas em x e p, e seu produto.
O que será calculado: \langle x\rangle, \langle x^2\rangle, \langle p\rangle, \langle p^2\rangle, depois (\Delta x)^2=\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2, (\Delta p)^2=\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2 e finalmente o produto.
Passo 2
Caracterizar os autofunções e autovalores do poço infinito (valores que vou usar nos cálculos). As funções de onda estacionárias normalizadas são (essas vêm da solução da equação de Schrödinger com \psi(0)=\psi(a)=0):
Avalio de 0 a a: em x=a temos \sin(ka)=\sin(2n\pi)=0 e \cos(ka)=1; em x=0 temos \cos0=1. Então a diferença é zero. Portanto a segunda integral é zero e
Avalio nos limites: para x=a temos \sin(ka)=\sin(2n\pi)=0 e \cos(ka)=1; para x=0 os termos que sobrevivem são nulos porque multiplicados por x ou \sin0=0. Então
Calcular \langle p\rangle. Operador momento unidimensional é \hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}. Para autovetores reais como \psi_n(x) tem-se a identidade útil: