Comumente, os sistemas de arrefecimento de carros são controlados por ventoinhas (pequenos ventiladores) elétricas. Supondo que a vida útil T, em horas, de uma determinada marca de ventoinha possa ser modelada por uma distribuição exponencial \operatorname{com} \lambda=0,0003, encontre a proporção de ventoinhas que funcionarão por pelo menos 10.000 horas de serviço.
Se a ventoinha for redesenhada de modo que sua vida útil possa ser modelada por uma distribuição exponencial \operatorname{com} \lambda=0,00035, você esperaria que mais ou menos ventoinhas funcionassem por pelo menos 10.000 horas de serviço?

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil T (em horas) de uma ventoinha segue uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda=0,0003. Precisamos calcular a proporção de ventoinhas que durarão pelo menos 10\,000 horas. Em seguida, comparar esse resultado com o caso em que \lambda=0,00035.

Passo 2

Para uma variável aleatória T com distribuição exponencial de parâmetro \lambda, a função de sobrevivência (a probabilidade de durar pelo menos t horas) é
P(T \ge t) = \exp(-\lambda\,t).

Passo 3

No primeiro caso, com \lambda=0,0003 e t=10\,000,
P(T \ge 10\,000) = \exp\bigl(-0,0003 \times 10\,000\bigr) = \exp(-3) \approx 0,0498.

Passo 4

No segundo caso, com \lambda=0,00035,
P(T \ge 10\,000) = \exp\bigl(-0,00035 \times 10\,000\bigr) = \exp(-3{,}5) \approx 0,0302.
Como \exp(-3{,}5)<\exp(-3), a nova ventoinha (maior \lambda) terá menor proporção funcionando por pelo menos 10\,000 horas.

Resposta

A proporção inicial é aproximadamente 0,0498. Com \lambda=0,00035, a proporção cai para cerca de 0,0302, ou seja, esperamos que menos ventoinhas durem pelo menos 10\,000 horas.

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