Na comunicação entre servidores, uma mensagem é dividida em
pacotes, os quais são enviados na forma de códigos. Pelo histórico da rede, sabe-se que cada pacote tem uma probabilidade de 0.01 de não chegar corretamente a seu destino e, além disto, assume-se que o fato de um pacote chegar ou não corretamente ao destino não altera a probabilidade de chegada correta de outros pacotes. Um programa corretivo garante o envio correto da mensagem quando o número de pacotes enviados erroneamente não passar de 10% do total de pacotes da mensagem.
E para uma mensagem de 200 pacotes?
E para uma mensagem de 200 pacotes?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado: queremos a probabilidade de que o programa corretivo garanta o envio correto da mensagem quando a mensagem tem
pacotes.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Cada pacote tem probabilidade de chegar errado igual a
. - Eventos independentes entre pacotes.
- O programa garante o envio correto se o número de pacotes enviados erroneamente não passar de
do total. Para , de é .
Portanto, a pergunta que vamos responder é: qual é a probabilidade de que o número de pacotes errados seja menor ou igual a, isto é, , onde é o número de pacotes com erro.
Passo 2
Modelagem probabilística: podemos modelar
como uma variável aleatória binomial porque temos
ensaios independentes, cada um com probabilidade
de “sucesso” (aqui interpretamos “sucesso” como ocorrer erro). Assim:
A fórmula da probabilidade de exatamente
erros é
mas queremos a probabilidade acumulada até
:
Passo 3
Parâmetros da binomial e interpretação útil:
- Valor esperado (média):
- Variância:
- Desvio padrão:
Esses números nos dizem que o número típico de pacotes errados é cerca de
com espalhamento pequeno (cerca de
). O limite aceitável
está muito, muito acima da média (muito mais de 10 desvios-padrão acima), então intuitivamente a probabilidade de ultrapassar
erros é praticamente zero.
Passo 4
Aproximação de Poisson (ferramenta didática): quando
é grande e
é pequeno e
é moderado, usamos a aproximação
Aqui
. A condição é satisfeita (
pequeno,
grande), então é apropriado aproximar
por
. A fórmula da Poisson é
Assim, aproximadamente,
Passo 5
Avaliar a soma diretamente daria um número praticamente igual a
, porque a cauda acima de
é minúscula. Para quantificar o quão pequena é a cauda, usamos uma desigualdade de tipo Chernoff para Poisson: para
e qualquer
,
Queremos
. Aqui
com
, então
, isto é
. Aplicando a desigualdade:
Passo 6
Cálculo do bound numérico (passo a passo):
Calculemos o logaritmo natural do bound para facilitar:
Calculemos o logaritmo natural do bound para facilitar:
Agora
. Então
Multiplicando por
:
Então a bound é aproximadamente
Isso significa que a probabilidade de ter
ou mais erros (para o modelo de Poisson com
) é menor que cerca de
.
Passo 7
Concluindo a aproximação: como
e o termo
é menor que
, obtemos
Ou seja, a probabilidade de o programa garantir o envio correto, para
, é praticamente
(diferença de ordem
).