Na comunicação entre servidores, uma mensagem é dividida em n pacotes, os quais são enviados na forma de códigos. Pelo histórico da rede, sabe-se que cada pacote tem uma probabilidade de 0.01 de não chegar corretamente a seu destino e, além disto, assume-se que o fato de um pacote chegar ou não corretamente ao destino não altera a probabilidade de chegada correta de outros pacotes. Um programa corretivo garante o envio correto da mensagem quando o número de pacotes enviados erroneamente não passar de 10% do total de pacotes da mensagem.
E para uma mensagem de 200 pacotes?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado: queremos a probabilidade de que o programa corretivo garanta o envio correto da mensagem quando a mensagem tem n=200 pacotes.
Informações dadas:
  • Cada pacote tem probabilidade de chegar errado igual a p=0{,}01.
  • Eventos independentes entre pacotes.
  • O programa garante o envio correto se o número de pacotes enviados erroneamente não passar de 10\% do total. Para n=200, 10\% de 200 é 20.
    Portanto, a pergunta que vamos responder é: qual é a probabilidade de que o número de pacotes errados seja menor ou igual a 20, isto é, P(X\le 20), onde X é o número de pacotes com erro.

Passo 2

Modelagem probabilística: podemos modelar X como uma variável aleatória binomial porque temos n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de “sucesso” (aqui interpretamos “sucesso” como ocorrer erro). Assim:
X \sim \mathrm{Bin}(n,p)=\mathrm{Bin}(200,0{,}01).
A fórmula da probabilidade de exatamente k erros é
P(X=k)=\binom{200}{k}\, (0{,}01)^k (0{,}99)^{200-k},
mas queremos a probabilidade acumulada até k=20:
P(X\le 20)=\sum_{k=0}^{20}\binom{200}{k}\, (0{,}01)^k (0{,}99)^{200-k}.

Passo 3

Parâmetros da binomial e interpretação útil:
  • Valor esperado (média): \mu = np = 200\cdot 0{,}01 = 2.
  • Variância: \sigma^2 = np(1-p) = 200\cdot 0{,}01\cdot 0{,}99 = 1{,}98.
  • Desvio padrão: \sigma = \sqrt{1{,}98}\approx 1{,}407.
Esses números nos dizem que o número típico de pacotes errados é cerca de 2 com espalhamento pequeno (cerca de 1{,}4). O limite aceitável 20 está muito, muito acima da média (muito mais de 10 desvios-padrão acima), então intuitivamente a probabilidade de ultrapassar 20 erros é praticamente zero.

Passo 4

Aproximação de Poisson (ferramenta didática): quando n é grande e p é pequeno e np=\lambda é moderado, usamos a aproximação
\mathrm{Bin}(n,p)\approx \mathrm{Poisson}(\lambda),\quad\text{com }\lambda=np.
Aqui \lambda = 200\cdot 0{,}01 = 2. A condição é satisfeita ( p pequeno, n grande), então é apropriado aproximar X por Y\sim\mathrm{Poisson}(2). A fórmula da Poisson é
P(Y=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-2}\frac{2^k}{k!}.
Assim, aproximadamente,
P(X\le 20)\approx P(Y\le 20)=\sum_{k=0}^{20} e^{-2}\frac{2^k}{k!}.

Passo 5

Avaliar a soma diretamente daria um número praticamente igual a 1, porque a cauda acima de 20 é minúscula. Para quantificar o quão pequena é a cauda, usamos uma desigualdade de tipo Chernoff para Poisson: para \lambda>0 e qualquer \delta>0,
P\bigl(Y \ge (1+\delta)\lambda\bigr) \le \left(\frac{e^{\delta}}{(1+\delta)^{1+\delta}}\right)^{\lambda}.
Queremos P(Y\ge 21). Aqui (1+\delta)\lambda = 21 com \lambda=2, então (1+\delta)=21/2=10{,}5, isto é \delta=9{,}5. Aplicando a desigualdade:
P(Y\ge 21) \le \left(\frac{e^{9{,}5}}{10{,}5^{10{,}5}}\right)^{2}.

Passo 6

Cálculo do bound numérico (passo a passo):
Calculemos o logaritmo natural do bound para facilitar:
\ln\left(\left(\frac{e^{9{,}5}}{10{,}5^{10{,}5}}\right)^{2}\right) =2\bigl(9{,}5 - 10{,}5\ln(10{,}5)\bigr).
Agora \ln(10{,}5)\approx 2{,}351375. Então
9{,}5 - 10{,}5\ln(10{,}5) \approx 9{,}5 - 10{,}5\cdot 2{,}351375 \approx 9{,}5 - 24{,}689 \approx -15{,}189.
Multiplicando por 2:
\ln(\text{bound}) \approx -30{,}378.
Então a bound é aproximadamente
P(Y\ge 21) \le e^{-30{,}378}\approx 6{,}8\times 10^{-14}.
Isso significa que a probabilidade de ter 21 ou mais erros (para o modelo de Poisson com \lambda=2) é menor que cerca de 7\times 10^{-14}.

Passo 7

Concluindo a aproximação: como
P(X\le 20)\approx P(Y\le 20)=1-P(Y\ge 21),
e o termo P(Y\ge 21) é menor que 6{,}8\times 10^{-14}, obtemos
P(X\le 20)\gtrsim 1 - 6{,}8\times 10^{-14}\approx 0{,}99999999999993.
Ou seja, a probabilidade de o programa garantir o envio correto, para n=200, é praticamente 1 (diferença de ordem 10^{-13}).

Resposta

\displaystyle P(\text{mensagem corrigida})=P(X\le 20)\approx 1-6{,}8\times 10^{-14}\approx 0{,}99999999999993

Exercícios relacionados