Sendo Y \sim \operatorname{Exp}(1), determine:
P(Y<2 \mid Y>1).

Passo 1

O enunciado dá que Y segue uma distribuição exponencial com parâmetro 1, isto é Y\sim\operatorname{Exp}(1), e pede o valor de
\Pr(Y<2 \mid Y>1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função densidade de probabilidade (PDF) da exponencial com parâmetro 1 é
f_Y(y)=e^{-y},\quad y\ge0.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) é
F_Y(y)=1-e^{-y},\quad y\ge0.
Não começamos a resolver ainda; só identifiquei o que foi pedido e os dados que o enunciado deu.

Passo 2

Usamos a definição de probabilidade condicional. Para eventos A e B com \Pr(B)>0,
\Pr(A\mid B)=\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}.
Aqui tomamos A=\{Y<2\} e B=\{Y>1\}. Então
\Pr(Y<2\mid Y>1)=\frac{\Pr(1<Y<2)}{\Pr(Y>1)}.
Vou calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Calcular o numerador \Pr(1<Y<2). Como f_Y é a PDF, a probabilidade em um intervalo é a integral da densidade nesse intervalo:
\Pr(1<Y<2)=\int_{1}^{2} f_Y(y)\,dy=\int_{1}^{2} e^{-y}\,dy.
Faço a integral passo a passo. A primitiva de e^{-y} é -e^{-y}, logo
\int_{1}^{2} e^{-y}\,dy = \big[-e^{-y}\big]_{y=1}^{y=2} = -e^{-2}-\big(-e^{-1}\big)=e^{-1}-e^{-2}.
Portanto \Pr(1<Y<2)=e^{-1}-e^{-2}.

Passo 4

Calcular o denominador \Pr(Y>1). Podemos usar a CDF ou integrar até infinito. Usando a CDF:
\Pr(Y>1)=1-\Pr(Y\le1)=1-F_Y(1)=1-\big(1-e^{-1}\big)=e^{-1}.
(Se preferir, dá a mesma conta integrando \int_{1}^{\infty} e^{-y}\,dy = e^{-1}.)

Passo 5

Agora colocamos tudo na fórmula da condicional:
\Pr(Y<2\mid Y>1)=\frac{e^{-1}-e^{-2}}{e^{-1}}.
Fatorando e^{-1} no numerador:
\frac{e^{-1}\big(1-e^{-1}\big)}{e^{-1}}=1-e^{-1}.
Logo a expressão simplifica para 1-e^{-1}.

Passo 6

Verificação rápida usando a propriedade de falta de memória da exponencial (um atalho conceitual): para Y\sim\operatorname{Exp}(1) vale
\Pr(Y> s+t \mid Y> s)=\Pr(Y>t).
Aplicando com s=1 e t=1,
\Pr(Y<2\mid Y>1)=1-\Pr(Y>2\mid Y>1)=1-\Pr(Y>1)=1-e^{-1},
o que confirma o resultado. Numericamente, 1-e^{-1}\approx 0,6321. Força aí — deu certinho!

Resposta

1-e^{-1}

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