Sendo
, determine:
.
Passo 1
O enunciado dá que
segue uma distribuição exponencial com parâmetro
, isto é
, e pede o valor de
Informações relevantes fornecidas:
- A função densidade de probabilidade (PDF) da exponencial com parâmetro
é
- A função de distribuição acumulada (CDF) é
Não começamos a resolver ainda; só identifiquei o que foi pedido e os dados que o enunciado deu.
Passo 2
Usamos a definição de probabilidade condicional. Para eventos
e
com
,
Aqui tomamos
e
. Então
Vou calcular o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Calcular o numerador
. Como
é a PDF, a probabilidade em um intervalo é a integral da densidade nesse intervalo:
Faço a integral passo a passo. A primitiva de
é
, logo
Portanto
.
Passo 4
Calcular o denominador
. Podemos usar a CDF ou integrar até infinito. Usando a CDF:
(Se preferir, dá a mesma conta integrando
.)
Passo 5
Agora colocamos tudo na fórmula da condicional:
Fatorando
no numerador:
Logo a expressão simplifica para
.
Passo 6
Verificação rápida usando a propriedade de falta de memória da exponencial (um atalho conceitual): para
vale
Aplicando com
e
,
o que confirma o resultado. Numericamente,
. Força aí — deu certinho!