Em um laticínio, a temperatura ideal do pasteurizador deve ser de 75^{\circ} \mathrm{C}. Se a temperatura ficar inferior a 70^{\circ} \mathrm{C}, o leite poderá ficar com bactérias indesejáveis ao organismo humano. Observações do processo mostram que, na forma de operação atual, os valores da temperatura seguem uma distribuição normal com média de 74.2^{\circ} \mathrm{C} e desvio padrão de 2.2^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual a probabilidade da temperatura ficar inferior a 70^{\circ} \mathrm{C} ?
b) Qual a probabilidade da temperatura ultrapassar os 75^{\circ} \mathrm{C} desejados?
c) Qual a probabilidade de que, em 20 pasteurizações, alguma(s) dela(s) não atinja(m) a temperatura de 70^{\circ} \mathrm{C} ?
d) Deseja-se regular equipamentos para alterar a temperatura média do processo para que a probabilidade de ficar inferior a 70^{\circ} \mathrm{C} seja de, no máximo, 0.0005 . Qual deveria ser a nova média de operação?
e) Suponha, agora, que a nova média de operação seja de 74.5^{\circ} \mathrm{C}. Deseja-se alterar o desvio padrão para satisfazer as condições do item anterior. Qual deve ser o novo desvio padrão de operação?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas. Dados fornecidos:
  • Temperatura do processo segue distribuição normal com média \mu=74,2^\circ\mathrm{C} e desvio padrão \sigma=2,2^\circ\mathrm{C}.
  • Limite crítico: 70^\circ\mathrm{C}. Temperaturas abaixo disso são indesejáveis.
  • Temperatura ideal: 75^\circ\mathrm{C}.
Perguntas que o enunciado faz:
a) Qual a probabilidade da temperatura ficar inferior a 70^\circ\mathrm{C}?
b) Qual a probabilidade da temperatura ultrapassar os 75^\circ\mathrm{C}?
c) Em 20 pasteurizações independentes, qual a probabilidade de que alguma(s) delas não atinja(m) 70^\circ\mathrm{C} (ou seja, pelo menos uma abaixo de 70^\circ\mathrm{C})?
d) Queremos ajustar a média para que P(X<70)\le 0,0005. Mantendo \sigma=2,2^\circ\mathrm{C}, qual deve ser a nova média \mu?
e) Supondo nova média \mu=74,5^\circ\mathrm{C}, qual deve ser o novo desvio padrão \sigma para que P(X<70)=0,0005?

Passo 2

Conceito e ferramenta principal (aula rápida e prática).
Quando temos X normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades usamos a padronização: definimos a variável padrão Z como
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição normal padrão Z\sim N(0,1). Assim probabilidades do tipo P(X<a) viram P\!\left(Z<\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right). Os valores de P(Z<z) são obtidos em tabela da normal padrão ou calculadora (vou usar valores tabulados e pequenas interpolações). Aqui vou mostrar passo a passo como calcular cada probabilidade usando essa padronização.

Passo 3

Queremos P(X<70) com \mu=74,2 e \sigma=2,2. Primeiro calculamos o escore z:
z=\frac{70-\mu}{\sigma}=\frac{70-74,2}{2,2}=\frac{-4,2}{2,2}=-1,9090909\approx -1,9091.
Interpretando: P(X<70)=P\!\left(Z<-1,9091\right). Usando tabela da normal padrão (valores positivos e simetria), temos
P(Z<-1,9091)=1-P(Z<1,9091).
Da tabela: P(Z<1,90)=0,9713 e P(Z<1,91)=0,9719. Interpolando para 1,9091 obtemos aproximadamente P(Z<1,9091)\approx 0,9718. Portanto
P(X<70)\approx 1-0,9718=0,0282.
Ou seja, aproximadamente 2{,}82\% das pasteurizações ficam abaixo de 70^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Queremos P(X>75). Primeiro padronizamos:
z=\frac{75-\mu}{\sigma}=\frac{75-74,2}{2,2}=\frac{0,8}{2,2}\approx 0,363636.
Então
P(X>75)=1-P\!\left(Z<0,363636\right).
Da tabela: P(Z<0,36)=0,6406 e P(Z<0,37)=0,6443. Interpolando para 0,3636 obtemos aproximadamente P(Z<0,3636)\approx 0,6420 (ou mais precisamente 0,64195). Logo
P(X>75)\approx 1-0,64195=0,35805\approx 0,3581.
Ou seja, cerca de 35{,}81\% das pasteurizações ultrapassam 75^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Agora pensamos em 20 pasteurizações independentes. Seja p a probabilidade de uma pasteurização ficar abaixo de 70^\circ\mathrm{C}. Do item (a) temos p\approx 0,0282. Se Y é o número de pasteurizações (em 20) que ficam abaixo de 70^\circ\mathrm{C}, então Y\sim \text{Binomial}(n=20,p). A probabilidade de que “alguma(s)” (ou seja, pelo menos uma) fique abaixo de 70^\circ\mathrm{C} é
P(Y\ge 1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)^{20}.
Substituindo p\approx 0,028155 (valor mais preciso usado nos cálculos),
(1-p)^{20}\approx (0,971845)^{20}.
Calculando (0,971845)^{20} por logaritmos ou aproximação exponencial:
\ln\big((1-p)^{20}\big)=20\ln(0,971845)\approx 20(-0,028555)\approx -0,5711,
logo (1-p)^{20}\approx e^{-0,5711}\approx 0,565. Assim
P(Y\ge 1)\approx 1-0,565=0,435.
Ou seja, aproximadamente 43{,5}\% de chance de que, em 20 pasteurizações, haja pelo menos uma abaixo de 70^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Queremos escolher uma nova média \mu_{\text{nova}} tal que P(X<70)=0,0005, mantendo \sigma=2,2. Denotando z_{0,0005} o quantil tal que P(Z<z_{0,0005})=0,0005, temos a equação
\frac{70-\mu_{\text{nova}}}{2,2}=z_{0,0005}.
Consultando tabela inversa da normal padrão (ou função inversa), o quantil correspondente a 0,0005 é aproximadamente
z_{0,0005}\approx -3,2905267.
Substituindo e resolvendo para \mu_{\text{nova}}:
70-\mu_{\text{nova}}=-3,2905267\cdot 2,2\approx -7,2391587,
portanto
\mu_{\text{nova}}=70+7,2391587\approx 77,2391587\approx 77,24^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: é preciso subir a média para cerca de 77{,}24^\circ\mathrm{C} para que a chance de cair abaixo de 70^\circ\mathrm{C} seja de, no máximo, 0{,}0005.

Passo 7

Agora fixamos \mu=74,5^\circ\mathrm{C} e queremos \sigma tal que P(X<70)=0,0005. Usamos a mesma quantia z_{0,0005}\approx -3,2905267 e a relação de padronização:
\frac{70-74,5}{\sigma}=z_{0,0005}.
Substituindo:
\frac{-4,5}{\sigma}=-3,2905267.
Resolve-se para \sigma:
\sigma=\frac{4,5}{3,2905267}\approx 1,3674\\ \!^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com sensatez, o novo desvio padrão deve ser aproximadamente 1,37^\circ\mathrm{C}. Isso significa que, mantendo média 74{,}5^\circ\mathrm{C}, você precisa reduzir a variabilidade para cerca de 1{,}37^\circ\mathrm{C} para atingir a probabilidade desejada de 0{,}0005 de ficar abaixo de 70^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) 0,0282
b) 0,3581
c) 0,435
d) \;77,24^\circ\mathrm{C}
e) \;1,37^\circ\mathrm{C}

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