Em um laticínio, a temperatura ideal do pasteurizador deve ser de
. Se a temperatura ficar inferior a
, o leite poderá ficar com bactérias indesejáveis ao organismo humano. Observações do processo mostram que, na forma de operação atual, os valores da temperatura seguem uma distribuição normal com média de
e desvio padrão de
.
a) Qual a probabilidade da temperatura ficar inferior a
?
b) Qual a probabilidade da temperatura ultrapassar os
desejados?
c) Qual a probabilidade de que, em 20 pasteurizações, alguma(s) dela(s) não atinja(m) a temperatura de
?
d) Deseja-se regular equipamentos para alterar a temperatura média do processo para que a probabilidade de ficar inferior a
seja de, no máximo, 0.0005 . Qual deveria ser a nova média de operação?
e) Suponha, agora, que a nova média de operação seja de
. Deseja-se alterar o desvio padrão para satisfazer as condições do item anterior. Qual deve ser o novo desvio padrão de operação?
a) Qual a probabilidade da temperatura ficar inferior a
b) Qual a probabilidade da temperatura ultrapassar os
c) Qual a probabilidade de que, em 20 pasteurizações, alguma(s) dela(s) não atinja(m) a temperatura de
d) Deseja-se regular equipamentos para alterar a temperatura média do processo para que a probabilidade de ficar inferior a
e) Suponha, agora, que a nova média de operação seja de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas. Dados fornecidos:
- Temperatura do processo segue distribuição normal com média
e desvio padrão . - Limite crítico:
. Temperaturas abaixo disso são indesejáveis. - Temperatura ideal:
.
Perguntas que o enunciado faz:
a) Qual a probabilidade da temperatura ficar inferior a ?
b) Qual a probabilidade da temperatura ultrapassar os ?
c) Em pasteurizações independentes, qual a probabilidade de que alguma(s) delas não atinja(m)
(ou seja, pelo menos uma abaixo de
)?
d) Queremos ajustar a média para que . Mantendo
, qual deve ser a nova média
?
e) Supondo nova média , qual deve ser o novo desvio padrão
para que
?
a) Qual a probabilidade da temperatura ficar inferior a
b) Qual a probabilidade da temperatura ultrapassar os
c) Em
d) Queremos ajustar a média para que
e) Supondo nova média
Passo 2
Conceito e ferramenta principal (aula rápida e prática).
Quando temos normal com média
e desvio padrão
, escrevemos
. Para calcular probabilidades usamos a padronização: definimos a variável padrão
como
Quando temos
que tem distribuição normal padrão
. Assim probabilidades do tipo
viram
. Os valores de
são obtidos em tabela da normal padrão ou calculadora (vou usar valores tabulados e pequenas interpolações). Aqui vou mostrar passo a passo como calcular cada probabilidade usando essa padronização.
Passo 3
Queremos
com
e
. Primeiro calculamos o escore
:
Interpretando:
. Usando tabela da normal padrão (valores positivos e simetria), temos
Da tabela:
e
. Interpolando para
obtemos aproximadamente
. Portanto
Ou seja, aproximadamente
das pasteurizações ficam abaixo de
.
Passo 4
Queremos
. Primeiro padronizamos:
Então
Da tabela:
e
. Interpolando para
obtemos aproximadamente
(ou mais precisamente
). Logo
Ou seja, cerca de
das pasteurizações ultrapassam
.
Passo 5
Agora pensamos em 20 pasteurizações independentes. Seja
a probabilidade de uma pasteurização ficar abaixo de
. Do item (a) temos
. Se
é o número de pasteurizações (em 20) que ficam abaixo de
, então
. A probabilidade de que “alguma(s)” (ou seja, pelo menos uma) fique abaixo de
é
Substituindo
(valor mais preciso usado nos cálculos),
Calculando
por logaritmos ou aproximação exponencial:
logo
. Assim
Ou seja, aproximadamente
de chance de que, em 20 pasteurizações, haja pelo menos uma abaixo de
.
Passo 6
Queremos escolher uma nova média
tal que
, mantendo
. Denotando
o quantil tal que
, temos a equação
Consultando tabela inversa da normal padrão (ou função inversa), o quantil correspondente a
é aproximadamente
Substituindo e resolvendo para
:
portanto
Interpretação: é preciso subir a média para cerca de
para que a chance de cair abaixo de
seja de, no máximo,
.
Passo 7
Agora fixamos
e queremos
tal que
. Usamos a mesma quantia
e a relação de padronização:
Substituindo:
Resolve-se para
:
Arredondando com sensatez, o novo desvio padrão deve ser aproximadamente
. Isso significa que, mantendo média
, você precisa reduzir a variabilidade para cerca de
para atingir a probabilidade desejada de
de ficar abaixo de
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)