A durabilidade de um tipo de filtro é descrita por uma variável aleatória com distribuição normal de média 60.000 hrs de funcionamento e desvio padrão de 9.000 hrs .
a) Se o fabricante garante a duração dos filtros pelas primeiras 47.500 hrs , qual a proporção de filtros que devem ser trocados pela garantia?
b) O que aconteceria com a proporção do item anterior se a garantia fosse para as primeiras 45.000 hrs?
c) Qual deveria ser a garantia (em hrs) de forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo
dos filtros?
d) Se uma indústria comprar cinco (5) filtros, qual será a probabilidade de utilizar a garantia (de 45.000 horas) para trocar ao menos um (1) dos filtros?
a) Se o fabricante garante a duração dos filtros pelas primeiras 47.500 hrs , qual a proporção de filtros que devem ser trocados pela garantia?
b) O que aconteceria com a proporção do item anterior se a garantia fosse para as primeiras 45.000 hrs?
c) Qual deveria ser a garantia (em hrs) de forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo
d) Se uma indústria comprar cinco (5) filtros, qual será a probabilidade de utilizar a garantia (de 45.000 horas) para trocar ao menos um (1) dos filtros?
Passo 1
O enunciado dá a durabilidade de um filtro como uma variável aleatória normalmente distribuída com média
horas e desvio padrão
horas. Pediu-se:
(a) A proporção de filtros que serão trocados pela garantia se a garantia cobre as primeiras horas.
(b) O que acontece com essa proporção se a garantia cobrisse as primeiras horas.
(c) Qual garantia (em horas) faz com que no máximo dos filtros sejam trocados (isto é, encontrar
tal que
).
(d) Se comprar cinco filtros, qual a probabilidade de que ao menos um seja trocado sob a garantia de horas?
(a) A proporção de filtros que serão trocados pela garantia se a garantia cobre as primeiras
(b) O que acontece com essa proporção se a garantia cobrisse as primeiras
(c) Qual garantia (em horas) faz com que no máximo
(d) Se comprar cinco filtros, qual a probabilidade de que ao menos um seja trocado sob a garantia de
Informações relevantes listadas:
-
(média em horas); -
(desvio padrão em horas); - Distribuição normal para a durabilidade;
- Itens (a)-(d) conforme descritos.
Passo 2
Conceito e ferramenta principal: transformação para a variável normal padrão.
Quando
é normal com média
e desvio padrão
, para calcular probabilidades usamos a padronização (z-score):
onde
tem distribuição normal padrão
(média
e desvio padrão
). Assim,
Para encontrar
usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora/funcão inversa). Lembre:
denota
. Também usaremos que
.
Vou aplicar isso passo a passo para cada item, mostrando como calcular o z, consultar a tabela e interpretar o resultado em porcentagem.
Passo 3
Item (a): proporção de filtros trocados se garantia =
horas.
- Calcular o z correspondente a
:
- Procuramos
. Usando a simetria da normal:
- Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora) para
obtemos (interpolando entre valores de tabela). Logo
- Interpretando como porcentagem, cerca de
dos filtros serão trocados pela garantia quando esta cobre as primeiras horas.
Passo 4
Item (b): proporção se garantia =
horas.
- Calcular o z para
:
-
Buscar
. Pela tabela, . -
Então
- Em porcentagem, cerca de
dos filtros seriam trocados com garantia de horas.
Comentário interpretativo (curto e claro): reduzir a garantia de
para
horas baixa a proporção de trocas de aproximadamente
para aproximadamente
— faz sentido: garantia mais curta, menos filtros ainda dentro do período coberto.
Passo 5
Item (c): qual garantia
tal que no máximo
dos filtros sejam trocados, isto é
.
- Em termos da normal padrão, queremos achar
tal que
Como
está à esquerda da média,
será negativo. Procurando na tabela inversa (ou usando função inversa), obtemos aproximadamente
porque
.
- Converter para
na escala original usando :
- Arredondando para horas inteiras, a garantia deveria ser de aproximadamente
horas para que no máximo dos filtros sejam trocados.
Observação prática: muitas vezes na indústria se arredonda para um número “redondo” (ex.:
h), mas o valor exato (pela conta) é cerca de
horas.
Passo 6
Item (d): probabilidade de, ao comprar cinco (
) filtros, ao menos um ser trocado pela garantia de
horas.
-
Modelo: assumimos filtros independentes (hipótese padrão). Cada filtro tem probabilidade
de precisar de troca sob garantia. Do item (b) obtivemos . -
A probabilidade de nenhum dos cinco precisar de troca é
. Assim, a probabilidade de “pelo menos um” ser trocado é
- Substituindo
:
- Calculemos
. Uma forma prática sem calculadora é usar logaritmos ou multiplicações sucessivas; aqui faço multiplicações aproximadas:
Então
- Em porcentagem, a probabilidade de trocar ao menos um dos cinco filtros sob garantia de
horas é aproximadamente .
Breve interpretação: com garantia de
h e probabilidade individual de ≈
, em um lote de 5 filtros já há chance razoável (≈22%) de ter pelo menos uma troca.
Resposta
(a)
(aprox.
).
(b) (aprox.
).
(c) horas (aprox.
horas).
(d) (aprox.
).
(b)
(c)
(d)