A durabilidade de um tipo de filtro é descrita por uma variável aleatória com distribuição normal de média 60.000 hrs de funcionamento e desvio padrão de 9.000 hrs .
a) Se o fabricante garante a duração dos filtros pelas primeiras 47.500 hrs , qual a proporção de filtros que devem ser trocados pela garantia?
b) O que aconteceria com a proporção do item anterior se a garantia fosse para as primeiras 45.000 hrs?
c) Qual deveria ser a garantia (em hrs) de forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 4 \% dos filtros?
d) Se uma indústria comprar cinco (5) filtros, qual será a probabilidade de utilizar a garantia (de 45.000 horas) para trocar ao menos um (1) dos filtros?

Passo 1

O enunciado dá a durabilidade de um filtro como uma variável aleatória normalmente distribuída com média \mu=60000 horas e desvio padrão \sigma=9000 horas. Pediu-se:
(a) A proporção de filtros que serão trocados pela garantia se a garantia cobre as primeiras \,47500 horas.
(b) O que acontece com essa proporção se a garantia cobrisse as primeiras \,45000 horas.
(c) Qual garantia (em horas) faz com que no máximo 4\% dos filtros sejam trocados (isto é, encontrar w tal que P(X\le w)=0{,}04).
(d) Se comprar cinco filtros, qual a probabilidade de que ao menos um seja trocado sob a garantia de \,45000 horas?
Informações relevantes listadas:
  • \mu=60000 (média em horas);
  • \sigma=9000 (desvio padrão em horas);
  • Distribuição normal para a durabilidade;
  • Itens (a)-(d) conforme descritos.

Passo 2

Conceito e ferramenta principal: transformação para a variável normal padrão.
Quando X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, para calcular probabilidades usamos a padronização (z-score):
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição normal padrão N(0,1) (média 0 e desvio padrão 1). Assim,
P(X\le x)=P\!\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
Para encontrar P(Z\le z) usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora/funcão inversa). Lembre: \Phi(z) denota P(Z\le z). Também usaremos que \Phi(-z)=1-\Phi(z).
Vou aplicar isso passo a passo para cada item, mostrando como calcular o z, consultar a tabela e interpretar o resultado em porcentagem.

Passo 3

Item (a): proporção de filtros trocados se garantia = \,47500 horas.
  1. Calcular o z correspondente a x=47500:
z=\frac{47500-60000}{9000}=\frac{-12500}{9000}\approx -1{,}3889.
  1. Procuramos \Phi(-1{,}3889)=P(Z\le -1{,}3889). Usando a simetria da normal:
\Phi(-1{,}3889)=1-\Phi(1{,}3889).
  1. Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora) para z\approx1{,}389 obtemos \Phi(1{,}389)\approx0{,}9175 (interpolando entre valores de tabela). Logo
\Phi(-1{,}3889)\approx 1-0{,}9175=0{,}0825.
  1. Interpretando como porcentagem, cerca de 8{,}25\% dos filtros serão trocados pela garantia quando esta cobre as primeiras \,47500 horas.

Passo 4

Item (b): proporção se garantia = \,45000 horas.
  1. Calcular o z para x=45000:
z=\frac{45000-60000}{9000}=\frac{-15000}{9000}=-1{,}6667.
  1. Buscar \Phi(-1{,}6667)=1-\Phi(1{,}6667). Pela tabela, \Phi(1{,}6667)\approx0{,}9522.
  2. Então
\Phi(-1{,}6667)\approx 1-0{,}9522=0{,}0478.
  1. Em porcentagem, cerca de 4{,}78\% dos filtros seriam trocados com garantia de \,45000 horas.
Comentário interpretativo (curto e claro): reduzir a garantia de \,47500 para \,45000 horas baixa a proporção de trocas de aproximadamente 8{,}25\% para aproximadamente 4{,}78\% — faz sentido: garantia mais curta, menos filtros ainda dentro do período coberto.

Passo 5

Item (c): qual garantia w tal que no máximo 4\% dos filtros sejam trocados, isto é P(X\le w)=0{,}04.
  1. Em termos da normal padrão, queremos achar z^* tal que
\Phi(z^*)=0{,}04.
Como 0{,}04 está à esquerda da média, z^* será negativo. Procurando na tabela inversa (ou usando função inversa), obtemos aproximadamente
z^*\approx -1{,}7507
porque \Phi(-1{,}7507)\approx0{,}04.
  1. Converter para w na escala original usando w=\mu+z^*\sigma:
w=60000+(-1{,}7507)\cdot9000\approx 60000-15756{,}3\approx 44243{,}7.
  1. Arredondando para horas inteiras, a garantia deveria ser de aproximadamente \,44244 horas para que no máximo 4\% dos filtros sejam trocados.
Observação prática: muitas vezes na indústria se arredonda para um número “redondo” (ex.: \,44250 h), mas o valor exato (pela conta) é cerca de \,44244 horas.

Passo 6

Item (d): probabilidade de, ao comprar cinco ( n=5) filtros, ao menos um ser trocado pela garantia de \,45000 horas.
  1. Modelo: assumimos filtros independentes (hipótese padrão). Cada filtro tem probabilidade p=P(X\le45000) de precisar de troca sob garantia. Do item (b) obtivemos p\approx0{,}0478.
  2. A probabilidade de nenhum dos cinco precisar de troca é (1-p)^5. Assim, a probabilidade de “pelo menos um” ser trocado é
1-(1-p)^5.
  1. Substituindo p\approx0{,}0478:
1-(1-0{,}0478)^5=1-(0{,}9522)^5.
  1. Calculemos (0{,}9522)^5. Uma forma prática sem calculadora é usar logaritmos ou multiplicações sucessivas; aqui faço multiplicações aproximadas:
(0{,}9522)^2\approx0{,}9067,
(0{,}9522)^4\approx(0{,}9067)^2\approx0{,}8221,
(0{,}9522)^5\approx0{,}8221\times0{,}9522\approx0{,}7828.
Então
1-(0{,}9522)^5\approx 1-0{,}7828=0{,}2172.
  1. Em porcentagem, a probabilidade de trocar ao menos um dos cinco filtros sob garantia de \,45000 horas é aproximadamente 21{,}72\%.
Breve interpretação: com garantia de \,45000 h e probabilidade individual de ≈ 4{,}78\%, em um lote de 5 filtros já há chance razoável (≈22%) de ter pelo menos uma troca.

Resposta

(a) 0{,}0825 (aprox. 8{,}25\%).
(b) 0{,}0478 (aprox. 4{,}78\%).
(c) w\approx 44243{,}7 horas (aprox. 44244 horas).
(d) 1-(1-0{,}0478)^5\approx 0{,}2172 (aprox. 21{,}72\%).

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