Questão 20. Considere a função função
e
sujeitos às restrições:
e
. Mostre que
possui mínimo global, mas não possui máximo global. Isso contradiz o Teorema de Weierstrass? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
- A função é
. - As restrições são
e .
- A função é
-
O enunciado pede:
- Mostrar que
possui mínimo global. - Mostrar que
não possui máximo global. - Responder se isso contradiz o Teorema de Weierstrass e justificar.
- Mostrar que
Observação importante (para que a afirmação “não possui máximo global” faça sentido): com a restrição escrita exatamente como
o conjunto de pontos
é um segmento compacto, e uma função contínua nele teria mínimo e máximo (pelo Teorema de Weierstrass). Portanto, para que exista mínimo global e NÃO exista máximo global, é necessário interpretar a restrição do enunciado como sendo somente
e
(ou seja, sem limite superior para
), de modo que o domínio seja uma semirreta (não compacto). A partir daqui vou adot ar essa interpretação (domínio
), porque assim a conclusão pedida (mínimo existe e máximo não existe) é consistente. Se o enunciado realmente quisesse
, então tanto mínimo quanto máximo existem (vou comentar isso ao final).
Passo 2
Reduzir o problema a uma função de uma variável: como
está dado por
, substitui-se essa expressão em
para obter uma função univariada
. Isso transforma a otimização com restrição em um problema de uma variável, que é mais simples de estudar.
Explicando a ideia (mini-aula): quando temos uma restrição do tipo
, podemos eliminar
e estudar a função composta
.
é contínua se
e
forem contínuas; então encontrar extremos de
sujeitos à restrição equivale a encontrar extremos de
no intervalo permitido para
.
Agora faço a substituição.
Passo 3
Calcular explicitamente
.
Primeiro desenvolvo cada termo:
Somando:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto:
Passo 4
Analisar a função quadrática
.
Mini-aula sobre quadráticas: uma função quadrática genérica é
. Se
a parábola abre para cima e tem um único ponto de mínimo localizado no vértice, cuja abscissa é
. O valor mínimo é então
. Se o domínio for todo
ou um intervalo que contenha o vértice, esse vértice dá o mínimo global nessa região. Se o domínio for uma semirreta
, verificamos se o vértice está na semirreta; se sim, é o mínimo, senão o mínimo ocorre em
.
Aqui
,
,
. Logo a parábola abre para cima e há um único mínimo no vértice.
Calcular a abscissa do vértice:
Verificar se
pertence ao domínio
: sim,
. Logo o mínimo de
sobre
ocorre em
.
Passo 5
Calcular o valor mínimo
e o correspondente ponto
.
Calculemos:
Como
, para
obtemos
Portanto o mínimo global (no domínio
) é
Comentário didático: esse é um mínimo global no domínio restrito porque, para todo
,
e o valor
é atingido em
.
Passo 6
Mostrar que não existe máximo global (no mesmo domínio
).
Mini-aula sobre máximos em funções que crescem para infinito: se uma função
quando
, então
não tem máximo (não existe ponto onde
atinge o maior valor), porque para qualquer candidato
existe
suficientemente grande com
.
Aqui
é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo, então
Isso mostra que
é não limitado superiormente sobre
. Concretamente, por exemplo, tomando a sequência
com
, tem-se
. Assim não existe
no domínio para o qual
seja o maior valor possível — para qualquer valor que se escolha sempre existe outro ponto com valor maior. Logo
não possui máximo global no domínio considerado.
Passo 7
Resposta sobre o Teorema de Weierstrass.
Mini-aula sobre o Teorema de Weierstrass (versão usada): se uma função é contínua em um conjunto compacto (fechado e limitado) não vazio, então ela atinge seu mínimo e seu máximo nesse conjunto. Ou seja, continuidade + compacidade do domínio garantem existência de extremo inferior e extremo superior atingidos.
No nosso caso (domínio tomado como a semirreta
) o conjunto não é compacto porque é ilimitado (não é limitado para
). Logo as hipóteses do Teorema de Weierstrass não se aplicam, e portanto não há contradição: é perfeitamente possível que uma função contínua tenha mínimo (aqui o vértice) e não tenha máximo quando o domínio não é compacto. Portanto não há contradição com o Teorema de Weierstrass.
Observação final útil: se o domínio tivesse sido realmente o segmento fechado indicado por
e
, então o domínio seria compacto e o Teorema de Weierstrass garantiria tanto mínimo quanto máximo. Nesse caso (intervalo fechado) os valores seriam:
ou seja mínimo
em
e máximo
em
. Isso mostra por contraste por que a hipótese de compacidade é essencial no Teorema de Weierstrass.
Resposta
Não, isso não contradiz o Teorema de Weierstrass, pois o domínio considerado (a semirreta