Questão 20. Considere a função função f(x, y)=(x+1)^{2}+2 y^{2}, \operatorname{com} x e y sujeitos às restrições: y=1-2 x e 0 \leq x \leq \frac{1}{2}. Mostre que f possui mínimo global, mas não possui máximo global. Isso contradiz o Teorema de Weierstrass? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
    • A função é f(x,y)=(x+1)^{2}+2y^{2}.
    • As restrições são y=1-2x e 0 \le x \le \tfrac{1}{2}.
  • O enunciado pede:
    1. Mostrar que f possui mínimo global.
    2. Mostrar que f não possui máximo global.
    3. Responder se isso contradiz o Teorema de Weierstrass e justificar.
Observação importante (para que a afirmação “não possui máximo global” faça sentido): com a restrição escrita exatamente como 0\le x\le \tfrac{1}{2} o conjunto de pontos \{(x,y):y=1-2x,\\\ 0\le x\le \tfrac{1}{2}\} é um segmento compacto, e uma função contínua nele teria mínimo e máximo (pelo Teorema de Weierstrass). Portanto, para que exista mínimo global e NÃO exista máximo global, é necessário interpretar a restrição do enunciado como sendo somente y=1-2x e 0\le x (ou seja, sem limite superior para x), de modo que o domínio seja uma semirreta (não compacto). A partir daqui vou adot ar essa interpretação (domínio D=\{(x,1-2x):x\ge 0\}), porque assim a conclusão pedida (mínimo existe e máximo não existe) é consistente. Se o enunciado realmente quisesse 0\le x\le \tfrac{1}{2}, então tanto mínimo quanto máximo existem (vou comentar isso ao final).

Passo 2

Reduzir o problema a uma função de uma variável: como y está dado por y=1-2x, substitui-se essa expressão em f para obter uma função univariada g(x)=f(x,1-2x). Isso transforma a otimização com restrição em um problema de uma variável, que é mais simples de estudar.
Explicando a ideia (mini-aula): quando temos uma restrição do tipo y=h(x), podemos eliminar y e estudar a função composta g(x)=f(x,h(x)). g é contínua se f e h forem contínuas; então encontrar extremos de f sujeitos à restrição equivale a encontrar extremos de g no intervalo permitido para x.
Agora faço a substituição.

Passo 3

Calcular explicitamente g(x)=f(x,1-2x).
Primeiro desenvolvo cada termo:
(x+1)^2 = x^2+2x+1,
(1-2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2,
2(1-2x)^2 = 2 - 8x + 8x^2.
Somando:
g(x)= (x+1)^2 + 2(1-2x)^2 = (x^2+2x+1) + (2 - 8x + 8x^2).
Agrupando termos semelhantes:
g(x)= (x^2+8x^2) + (2x-8x) + (1+2) = 9x^2 -6x +3.
Portanto:
g(x)=9x^2-6x+3,\qquad x\ge 0.

Passo 4

Analisar a função quadrática g(x)=9x^2-6x+3.
Mini-aula sobre quadráticas: uma função quadrática genérica é ax^2+bx+c. Se a>0 a parábola abre para cima e tem um único ponto de mínimo localizado no vértice, cuja abscissa é x_v=-\dfrac{b}{2a}. O valor mínimo é então g(x_v). Se o domínio for todo \mathbb{R} ou um intervalo que contenha o vértice, esse vértice dá o mínimo global nessa região. Se o domínio for uma semirreta x\ge 0, verificamos se o vértice está na semirreta; se sim, é o mínimo, senão o mínimo ocorre em x=0.
Aqui a=9>0, b=-6, c=3. Logo a parábola abre para cima e há um único mínimo no vértice.
Calcular a abscissa do vértice:
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2\cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}.
Verificar se x_v pertence ao domínio x\ge 0: sim, \tfrac{1}{3}\ge 0. Logo o mínimo de g sobre x\ge 0 ocorre em x=\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Calcular o valor mínimo g\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) e o correspondente ponto (x,y).
Calculemos:
g\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=9\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}-6\left(\tfrac{1}{3}\right)+3 =9\cdot \tfrac{1}{9}-2+3=1-2+3=2.
Como y=1-2x, para x=\tfrac{1}{3} obtemos
y=1-2\cdot \tfrac{1}{3}=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Portanto o mínimo global (no domínio D=\{(x,1-2x):x\ge 0\}) é
\min f=2\quad\text{ocorrido em}\quad\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Comentário didático: esse é um mínimo global no domínio restrito porque, para todo x\ge 0, g(x)\ge 2 e o valor 2 é atingido em x=\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Mostrar que não existe máximo global (no mesmo domínio x\ge 0).
Mini-aula sobre máximos em funções que crescem para infinito: se uma função g(x)\to +\infty quando x\to +\infty, então g não tem máximo (não existe ponto onde g atinge o maior valor), porque para qualquer candidato M existe x suficientemente grande com g(x)>M.
Aqui g(x)=9x^2-6x+3 é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo, então
\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty.
Isso mostra que g é não limitado superiormente sobre x\ge 0. Concretamente, por exemplo, tomando a sequência x_n=n com n\to\infty, tem-se g(n)=9n^2-6n+3\to\infty. Assim não existe x no domínio para o qual g(x) seja o maior valor possível — para qualquer valor que se escolha sempre existe outro ponto com valor maior. Logo f não possui máximo global no domínio considerado.

Passo 7

Resposta sobre o Teorema de Weierstrass.
Mini-aula sobre o Teorema de Weierstrass (versão usada): se uma função é contínua em um conjunto compacto (fechado e limitado) não vazio, então ela atinge seu mínimo e seu máximo nesse conjunto. Ou seja, continuidade + compacidade do domínio garantem existência de extremo inferior e extremo superior atingidos.
No nosso caso (domínio tomado como a semirreta D=\{(x,1-2x):x\ge 0\}) o conjunto não é compacto porque é ilimitado (não é limitado para x\to\infty). Logo as hipóteses do Teorema de Weierstrass não se aplicam, e portanto não há contradição: é perfeitamente possível que uma função contínua tenha mínimo (aqui o vértice) e não tenha máximo quando o domínio não é compacto. Portanto não há contradição com o Teorema de Weierstrass.
Observação final útil: se o domínio tivesse sido realmente o segmento fechado indicado por y=1-2x e 0\le x\le \tfrac{1}{2}, então o domínio seria compacto e o Teorema de Weierstrass garantiria tanto mínimo quanto máximo. Nesse caso (intervalo fechado) os valores seriam:
g(0)=3,\qquad g\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{9}{4}=2{,}25,\qquad g\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=2,
ou seja mínimo 2 em x=\tfrac{1}{3} e máximo 3 em x=0. Isso mostra por contraste por que a hipótese de compacidade é essencial no Teorema de Weierstrass.

Resposta

\min f=2 em \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right); f não possui máximo global no domínio D=\{(x,1-2x):x\ge 0\}.\n
Não, isso não contradiz o Teorema de Weierstrass, pois o domínio considerado (a semirreta x\ge 0) não é compacto.

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