O movimento de uma partícula sobre o plano no ponto (x, y) é dado por uma função vetorial que depende de tempo t em segundos. Determine o ponto (x, y) da posição inicial da partícula e o instante de tempo que a partícula está no ponto (-7, 20), sabendo que a função movimento da partícula é: f(t) = (3 - 2t, t² - t)
a) A posição inicial é (-3, 6) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 10 segundos.
b) A posição inicial é (3, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 5 segundos.
c) A posição inicial é (1, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 0 segundos.
d) A posição inicial é (5, -2) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 15 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano, ou seja, como a posição dela muda com o tempo. A função que descreve esse movimento é uma função vetorial que depende do tempo $ t $ em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a posição inicial da partícula, que é onde ela está quando $ t = 0 $, e também descobrir em que instante a partícula está no ponto t . Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções vetoriais e resolver equações simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição inicial da partícula. A posição inicial é a posição da partícula quando $ t = 0 $. A função do movimento da partícula é dada por:
t = 0
Para encontrar a posição inicial, basta substituir $ t = 0 $ na função:
f(t) = (3 - 2t, t^2 - t)
Então, a posição inicial da partícula é t = 0 .

Passo 3

Agora, vamos descobrir em que instante a partícula está no ponto (-7, 20). Isso significa que queremos encontrar o valor de $ t $ para o qual as coordenadas da função $ f(t) $ são iguais a t em $ x $ e f(t) em $ y $.
Primeiro, olhamos para a coordenada $ x $:
-7
Vamos resolver essa equação para $ t $:
x
Então, $ t = 5 $ segundos.
Vamos verificar se esse valor de $ t $ também satisfaz a coordenada $ y $:
20
Perfeito! A coordenada $ y $ também é 20 quando $ t = 5 $.

Resposta

A posição inicial é (3, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando $ t = 5 $ segundos.
Alternativa b)

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