O movimento de uma partícula sobre o plano no ponto (x, y) é dado por uma função vetorial que depende de tempo t em segundos. Determine o ponto (x, y) da posição inicial da partícula e o instante de tempo que a partícula está no ponto (-7, 20), sabendo que a função movimento da partícula é: f(t) = (3 - 2t, t² - t)
a) A posição inicial é (-3, 6) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 10 segundos.
b) A posição inicial é (3, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 5 segundos.
c) A posição inicial é (1, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 0 segundos.
d) A posição inicial é (5, -2) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 15 segundos.
a) A posição inicial é (-3, 6) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 10 segundos.
b) A posição inicial é (3, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 5 segundos.
c) A posição inicial é (1, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 0 segundos.
d) A posição inicial é (5, -2) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 15 segundos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano, ou seja, como a posição dela muda com o tempo. A função que descreve esse movimento é uma função vetorial que depende do tempo $ t $ em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a posição inicial da partícula, que é onde ela está quando $ t = 0 $, e também descobrir em que instante a partícula está no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções vetoriais e resolver equações simples.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição inicial da partícula. A posição inicial é a posição da partícula quando $ t = 0 $. A função do movimento da partícula é dada por:
Para encontrar a posição inicial, basta substituir $ t = 0 $ na função:
Então, a posição inicial da partícula é
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir em que instante a partícula está no ponto
. Isso significa que queremos encontrar o valor de $ t $ para o qual as coordenadas da função $ f(t) $ são iguais a
em $ x $ e
em $ y $.
Primeiro, olhamos para a coordenada $ x $:
Vamos resolver essa equação para $ t $:
Então, $ t = 5 $ segundos.
Vamos verificar se esse valor de $ t $ também satisfaz a coordenada $ y $:
Perfeito! A coordenada $ y $ também é 20 quando $ t = 5 $.
Resposta
A posição inicial é
e a partícula está no ponto
quando $ t = 5 $ segundos.
Alternativa b)
Alternativa b)