O conceito de razão em que um ponto divide um segmento orientado qualquer é dado pelo número real tal que . Este número r só existe se P pertence a reta A B e P neq B. Sob essas condições verifique que r=|A P||P B| quando P esta entre A e B.
Passo 1
O enunciado define a razão rinR em que P divide o segmento orientado (A,B) pela relação
AP=r,PB,
valendo apenas se P está na reta AB e Pneq B. Precisamos verificar que, quando P está entre A e B, esse r coincide com
|AP||PB|
Passo 2
Como P pertence à reta AB, os vetores AP e PB são colineares, de modo que existe escalar r tal que
AP=r,PB
Além disso, quando P está entre A e B, estes vetores têm mesma direção, implicando r>0. Tomando norma em ambos os lados da igualdade, obtemos