O conceito de razão em que um ponto P divide um segmento orientado qualquer (A, B) é dado pelo número real r in R tal que A P=r P B. Este número r só existe se P pertence a reta A B e P neq B. Sob essas condições verifique que r=|A P||P B| quando P esta entre A e B.

Passo 1

O enunciado define a razão rinR em que P divide o segmento orientado (A,B) pela relação
AP=r,PB,
valendo apenas se P está na reta AB e Pneq B. Precisamos verificar que, quando P está entre A e B, esse r coincide com
|AP||PB|

Passo 2

Como P pertence à reta AB, os vetores AP e PB são colineares, de modo que existe escalar r tal que
AP=r,PB
Além disso, quando P está entre A e B, estes vetores têm mesma direção, implicando r>0. Tomando norma em ambos os lados da igualdade, obtemos
|AP| ;=; |r|,|PB| ;=;r,|PB|
Logo
r ;=;|AP||PB|

Resposta

r = |A P||P B|

Exercícios relacionados