Sejam M, N, e P os pontos médios dos lados A B, B C e C A do triângulo triang<= A B C.
(a) Exprima B P, A N e C M em função de C A e C B
(b) Prove que B P+A N+C M=0
(c) Seja X um ponto do segmento A B. Mostre que
C X=|B X||A B| C A+|A X||A B| C B

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo triang<= ABC cujos pontos médios dos lados AB, BC e CA são M, N e P, respectivamente. O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar a decomposição de vetores por pontos intermediários (soma de vetores e multiplicação por escalar) e a fórmula do ponto que divide um segmento em certo quociente.

Passo 2

Para achar BP, note que P é o ponto médio de CA. Então
BP =BA+AP
com BA=CA-CB e
AP=tfrac12,AC=-tfrac12,CA. Logo,
BP =(CA-CB)-tfrac12,CA =tfrac12,CA-CB

Passo 3

Analogamente,
AN =AB+BN
com AB=CB-CA e
BN=tfrac12,BC=-tfrac12,CB, dando
AN =(CB-CA)-tfrac12,CB =tfrac12,CB-CA
Para CM, como M é o ponto médio de AB,
CM =CA+AM
com AM=tfrac12,AB=tfrac12(CB-CA), de onde
CM =CA+tfrac12(CB-CA) =tfrac12,CA+tfrac12,CB

Passo 4

Somamos os três vetores:
BP+AN+CM =l(tfrac12,CA-CBr) +l(tfrac12,CB-CAr) +l(tfrac12,CA+tfrac12,CBr)
Agrupando coeficientes de CA e CB vemos que ambos somam zero, logo
BP+AN+CM=0

Passo 5

Para a parte (c), seja X um ponto em AB. Ele divide AB em segmentos de comprimentos |AX| e |XB|. Em vetores,
CX =CA+AX e AX =|AX||AB|,AB
Como AB=CB-CA, segue
CX =CA +|AX||AB|l(CB-CAr) =l(1-|AX||AB|r)CA +|AX||AB|,CB
Como 1-tfrac|AX||AB|=tfrac|XB||AB|, obtemos
CX =|XB||AB|,CA +|AX||AB|,CB

Resposta

(a)
BP=tfrac12,CA-CB, AN=tfrac12,CB-CA, CM=tfrac12,(CA+CB)
(b)
BP+AN+CM=0
(c)
CX =|XB||AB|,CA +|AX||AB|,CB

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