Mostre que dois quadrados são sempre semelhantes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado qualquer par de quadrados, eles são semelhantes.
Conteúdo: definição de polígonos semelhantes — dois polígonos são semelhantes se, e somente se, todos os ângulos correspondentes são iguais e todos os comprimentos de lados correspondentes estão em razão constante.

Passo 2

Seja Q1 um quadrado de lado ell1 e Q2 um quadrado de lado ell2. Por definição de quadrado, em cada figura todos os quatro lados têm medida igual:
em Q1:;AB=BC=CD=DA=ell1, em Q2:;EF=FG=GH=HE=ell2

Passo 3

Também por definição, cada ângulo interno de um quadrado mede exatamente 90^circ. Logo, em Q1 e em Q2 todos os quatro ângulos são congruentes, ou seja,
alpha1=alpha2=alpha3=alpha4=90^circ e beta1=beta2=beta3=beta4=90^circ,
onde alphai são os ângulos de Q1 e betai os de Q2.

Passo 4

Para qualquer par de lados correspondentes (por exemplo AB em Q1 e EF em Q2), a razão é
ABEF=ell1ell2,
e o mesmo vale para os outros três pares de lados. Assim, todos os lados correspondentes estão em uma única razão constante k=tfracell1ell2.

Resposta

Como os ângulos correspondentes são todos iguais ( 90^circ) e os lados correspondentes estão em razão constante, concluímos que quaisquer dois quadrados são sempre semelhantes.

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