Prove que se
e
são não nulos e paralelos, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são vetores não nulos e paralelos, então não vale a igualdade
O conteúdo que vamos usar é a definição de norma via produto interno e a caracterização de vetores paralelos.
Passo 2
Lembramos que, em qualquer espaço com produto interno, vale a identidade de expansão da norma:
Passo 3
Como
e
são paralelos, existe um escalar
tal que
com
(pois
é não nulo).
Passo 4
Substituindo
na identidade da norma, temos
enquanto
Passo 5
Se tivéssemos
então
Isso contradiz
. Portanto a igualdade não pode ocorrer.
Resposta
Concluímos que, para
e
não nulos e paralelos,