Prove que se u e v são não nulos e paralelos, então |u+v|^2 neq|u|^2+|v|^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se u e v são vetores não nulos e paralelos, então não vale a igualdade
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2
O conteúdo que vamos usar é a definição de norma via produto interno e a caracterização de vetores paralelos.

Passo 2

Lembramos que, em qualquer espaço com produto interno, vale a identidade de expansão da norma:
|u+v|^2 =|u|^2 +2lang<= u,vrang<= +|v|^2

Passo 3

Como u e v são paralelos, existe um escalar tinR tal que
u=t,v,
com tneq 0 (pois u é não nulo).

Passo 4

Substituindo u=tv na identidade da norma, temos
|u+v|^2 =|tv+v|^2 =|(t+1)v|^2 =(t+1)^2,|v|^2,
enquanto
|u|^2+|v|^2 =|tv|^2+|v|^2 =t^2,|v|^2+|v|^2 =(t^2+1),|v|^2

Passo 5

Se tivéssemos
|u+v|^2 =|u|^2+|v|^2,
então
(t+1)^2,|v|^2 =(t^2+1),|v|^2 Longrightarrow (t+1)^2=t^2+1 Longrightarrow 2t=0 Longrightarrow t=0
Isso contradiz tneq 0. Portanto a igualdade não pode ocorrer.

Resposta

Concluímos que, para u e v não nulos e paralelos,
|u+v|^2neq |u|^2+|v|^2

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