Exercício 2-5: Caracterize e encontre a forma matricial das seguintes formas quadráticas e calcule suas direções principais.
17 x1^2-30 x1 x2+17 x2^2=28

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para caracterizar e encontrar a forma matricial da forma quadrática 17 x1^2 - 30 x1 x2 + 17 x2^2 = 28. A matéria que estamos lidando aqui é a álgebra linear, mais especificamente formas quadráticas e suas direções principais. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar formas quadráticas em forma matricial e como encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz, que nos darão as direções principais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a forma quadrática de uma forma matricial. Uma forma quadrática geral em duas variáveis pode ser representada como:
x^T A x = c
onde x = x1 x2 , A é uma matriz simétrica, e c é uma constante.
No nosso caso, temos:
17 x1^2 - 30 x1 x2 + 17 x2^2 = 28
Então, mapeando para a forma matricial:
A = 17 & -15 -15 & 17
Note que o termo cruzado -30 x1 x2 é dividido por 2 para preencher as posições fora da diagonal na matriz simétrica.

Passo 3

Agora, vamos caracterizar a forma quadrática. Para isso, precisamos verificar o determinante e os autovalores da matriz A.
Primeiro, calculamos o determinante de A:
det(A) = (17)(17) - (-15)(-15) = 289 - 225 = 64
Como o determinante é positivo e os elementos da diagonal também são positivos, a forma quadrática é definida positiva. Isso significa que a forma quadrática representa uma elipse.

Passo 4

Para encontrar as direções principais, precisamos calcular os autovalores e os autovetores da matriz A.
Os autovalores lambda são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Então:
17 - lambda & -15 -15 & 17 - lambda = 0
Calculando o determinante:
(17 - lambda)^2 - (-15)^2 = 0 (17 - lambda)^2 - 225 = 0 (17 - lambda)^2 = 225 17 - lambda = pm 15
Então temos dois casos:
  1. 17 - lambda = 15 Rightarrow lambda = 2
  2. 17 - lambda = -15 Rightarrow lambda = 32
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para lambda = 2:
Resolvemos (A - 2I)v = 0:
15 & -15 -15 & 15 v1 v2 = 0 0
Isso resulta em v1 = v2. Então, um autovetor é v = 1 1 .
Para lambda = 32:
Resolvemos (A - 32I)v = 0:
-15 & -15 -15 & -15 v1 v2 = 0 0
Isso resulta em v1 = -v2. Então, um autovetor é v = 1 -1 .

Resposta

A forma matricial da forma quadrática é:
x^T 17 & -15 -15 & 17 x = 28
As direções principais são dadas pelos vetores:
1 1 e 1 -1

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