Exercício 2-5: Caracterize e encontre a forma matricial das seguintes formas quadráticas e calcule suas direções principais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para caracterizar e encontrar a forma matricial da forma quadrática . A matéria que estamos lidando aqui é a álgebra linear, mais especificamente formas quadráticas e suas direções principais. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar formas quadráticas em forma matricial e como encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz, que nos darão as direções principais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a forma quadrática de uma forma matricial. Uma forma quadrática geral em duas variáveis pode ser representada como:
onde , é uma matriz simétrica, e é uma constante.
No nosso caso, temos:
Então, mapeando para a forma matricial:
Note que o termo cruzado -30 x1 x2 é dividido por 2 para preencher as posições fora da diagonal na matriz simétrica.
Passo 3
Agora, vamos caracterizar a forma quadrática. Para isso, precisamos verificar o determinante e os autovalores da matriz A.
Primeiro, calculamos o determinante de A:
det(A) = (17)(17) - (-15)(-15) = 289 - 225 = 64
Como o determinante é positivo e os elementos da diagonal também são positivos, a forma quadrática é definida positiva. Isso significa que a forma quadrática representa uma elipse.
Passo 4
Para encontrar as direções principais, precisamos calcular os autovalores e os autovetores da matriz A.
Os autovalores lambda são encontrados resolvendo a equação característica: