Conceitos sobre ortogonalidade.
Assinale as afirmativas verdadeiras e some o resultado.
(01) O complemento ortogonal do subespaço S gerado pelo vetor ( 1,0,0 ) é o subespaço gerado pelo vetor (0,1,0).
(02) Se S=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\right\} é um conjunto ortogonal de vetores não nulos, então S é linearmente independente.
(04) Considere o subespaço S=\left\{u_{1}, u_{2}\right\} onde u_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) e u_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right). A projeção do vetor (12,3,12) sobre esse espaço é dado pelo vetor (9,9,9).
(08) A melhor solução para o sistema dado por \left\{\begin{array}{l}-x_{1}+x_{2}=10 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=5 \\\ x_{1}-2 x_{2}=20\end{array}\right. é o vetor (2,-3).
(16) Uma base para o espaço nulo da matriz transposta da A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] é dado por [(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)].
Passo 1
O enunciado trata de conceitos de ortogonalidade em \mathbb{R}^n: complemento ortogonal, independência de conjuntos ortogonais, projeção ortogonal em subespaços e soluções de mínimos quadrados via normal equations, além do cálculo do núcleo da transposta de uma matriz.
Passo 2
(01) O complemento ortogonal de \mathrm{span}\{(1,0,0)\} em \mathbb{R}^3 é o conjunto de todos os vetores (0,y,z), um subespaço de dimensão 2 gerado por (0,1,0) e (0,0,1). A afirmação que diz ser gerado apenas por (0,1,0) falha em incluir (0,0,1). Logo, (01) é falsa.
Passo 3
(02) Num espaço com produto interno, qualquer conjunto ortogonal de vetores não nulos é automaticamente linearmente independente, pois uma combinação nula exige que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, (02) é verdadeira.