Conceitos sobre ortogonalidade.
Assinale as afirmativas verdadeiras e some o resultado.
(01) O complemento ortogonal do subespaço S gerado pelo vetor ( 1,0,0 ) é o subespaço gerado pelo vetor (0,1,0).
(02) Se S=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\right\} é um conjunto ortogonal de vetores não nulos, então S é linearmente independente.
(04) Considere o subespaço S=\left\{u_{1}, u_{2}\right\} onde u_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) e u_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right). A projeção do vetor (12,3,12) sobre esse espaço é dado pelo vetor (9,9,9).
(08) A melhor solução para o sistema dado por \left\{\begin{array}{l}-x_{1}+x_{2}=10 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=5 \\\ x_{1}-2 x_{2}=20\end{array}\right. é o vetor (2,-3).
(16) Uma base para o espaço nulo da matriz transposta da A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] é dado por [(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)].

Passo 1

O enunciado trata de conceitos de ortogonalidade em \mathbb{R}^n: complemento ortogonal, independência de conjuntos ortogonais, projeção ortogonal em subespaços e soluções de mínimos quadrados via normal equations, além do cálculo do núcleo da transposta de uma matriz.

Passo 2

(01) O complemento ortogonal de \mathrm{span}\{(1,0,0)\} em \mathbb{R}^3 é o conjunto de todos os vetores (0,y,z), um subespaço de dimensão 2 gerado por (0,1,0) e (0,0,1). A afirmação que diz ser gerado apenas por (0,1,0) falha em incluir (0,0,1). Logo, (01) é falsa.

Passo 3

(02) Num espaço com produto interno, qualquer conjunto ortogonal de vetores não nulos é automaticamente linearmente independente, pois uma combinação nula exige que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, (02) é verdadeira.

Passo 4

(04) Verificamos que
u_{1}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr), \quad u_{2}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)
é uma base ortonormal de um subespaço de \mathbb{R}^3. Para x=(12,3,12),
x\cdot u_{1}=\frac{12+3+12}{\sqrt{3}}=\frac{27}{\sqrt{3}}=9\sqrt{3}, \quad x\cdot u_{2}=\frac{12-12}{\sqrt{2}}=0.
Logo
\mathrm{proj}_{S}(x) =(x\cdot u_{1})\,u_{1}+(x\cdot u_{2})\,u_{2} =9\sqrt{3}\,u_{1}+0\cdot u_{2}=(9,9,9).
Portanto, (04) é verdadeira.

Passo 5

(08) Para achar a melhor solução (mínimos quadrados) de
\begin{cases} -x_{1}+x_{2}=10,\\\\ 2x_{1}+x_{2}=5,\\\ x_{1}-2x_{2}=20, \end{cases}
montamos A=\begin{pmatrix}-1&1\\\ 2&1\\\ 1&-2\end{pmatrix}, b=(10,5,20)^T, e resolvemos
A^T A\,x = A^T b \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}6&-1\\\ -1&6\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}20\\\ -25\end{pmatrix},
cuja solução é x=(19/7,\,-26/7)\approx(2{,}71,\,-3{,}71), não (2,-3). Logo, (08) é falsa.

Passo 6

(16) Seja
A=\begin{pmatrix} \frac12 & -\frac12\\\ \frac12 & -\frac12\\\ \frac12 & \frac12\\\ \frac12 & \frac12 \end{pmatrix}.
Para x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) em \ker(A^T) temos
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \quad -\,x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,
que implicam x_{2}=-x_{1} e x_{4}=-x_{3}. Logo uma base pode ser
(1,-1,0,0) e (0,0,1,-1). Assim, (16) é verdadeira.

Resposta

Somando os rótulos das afirmativas verdadeiras (02)+(04)+(16) obtemos 2+4+16=22. Portanto, a soma é 22.

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