Conceitos transformações lineares.
Assinale as afirmativas verdadeiras e some o resultado.
(01) Se uma transformação linear T: V \rightarrow W é injetora, então N(T)=\{0\}.
(02) Se \operatorname{dim} V=n e \operatorname{dim} W=m e T: V \rightarrow W uma transformação linear, então \operatorname{dim} N(T)-\operatorname{dim} \operatorname{Im}(T)=n.
(04) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}, x_{1} x_{2}, x_{1}+x_{2}\right) é uma transformação linear.
(08) Dado uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T x=A x e outra transformação linear S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, S x=B x, a composta T \circ S é uma transformação linear dado por (T \circ S) x=C x onde C=B A.
(16) A transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{1}-x_{2}\right) é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das afirmativas sobre transformações lineares são verdadeiras e somar os códigos correspondentes. Vamos usar conceitos de injetividade e núcleo, teorema do núcleo e imagem (rank–nullity), definição de transformação linear, composição de transformações via multiplicação de matrizes e isomorfismo (invertibilidade).

Passo 2

Analisando ( 01): se T:V\to W é injetora então \ker(T)=\{0\}. Isso decorre da definição de injetividade e do fato de \ker(T)=\{v\in V:T(v)=0\}. Logo ( 01) é verdadeira.

Passo 3

Analisando ( 02): o teorema do núcleo e imagem diz
\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=\dim V=n.
A afirmativa diz \dim N(T)-\dim\Im(T)=n, que é incorreta. Logo ( 02) é falsa.

Passo 4

Analisando ( 04): a aplicação
T(x_1,x_2)=(x_1-x_2,\;x_1x_2,\;x_1+x_2)
falha na aditividade e homogeneidade devido ao termo x_1x_2. Logo não é linear e ( 04) é falsa.

Passo 5

Analisando ( 08): para T(x)=Ax e S(x)=Bx, a composição
(T\circ S)(x)=T(Bx)=A(Bx)=(AB)x.
A afirmativa diz que a matriz resultante é BA, mas o correto é AB. Logo ( 08) é falsa.

Passo 6

Analisando ( 16): a matriz associada a T(x_1,x_2)=(x_1+x_2,\;x_1-x_2) é
\begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] 1 & -1\end{pmatrix}
cujo determinante é -2\neq0. Logo T é invertível e um isomorfismo; ( 16) é verdadeira.]

Passo 7

Somando os códigos das afirmativas verdadeiras (( 01) e ( 16)) obtemos
1 + 16 = 17.

Resposta

17

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