Conceitos transformações lineares.
Assinale as afirmativas verdadeiras e some o resultado.
(01) Se uma transformação linear
é injetora, então
.
(02) Se
e
e
uma transformação linear, então
.
(04)
dada por
é uma transformação linear.
(08) Dado uma transformação linear
e outra transformação linear
, a composta
é uma transformação linear dado por
onde
.
(16) A transformação linear
dada por
é um isomorfismo.
Assinale as afirmativas verdadeiras e some o resultado.
(01) Se uma transformação linear
(02) Se
(04)
(08) Dado uma transformação linear
(16) A transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das afirmativas sobre transformações lineares são verdadeiras e somar os códigos correspondentes. Vamos usar conceitos de injetividade e núcleo, teorema do núcleo e imagem (rank–nullity), definição de transformação linear, composição de transformações via multiplicação de matrizes e isomorfismo (invertibilidade).
Passo 2
Analisando (
): se
é injetora então
. Isso decorre da definição de injetividade e do fato de
. Logo (
) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (
): o teorema do núcleo e imagem diz
A afirmativa diz
, que é incorreta. Logo (
) é falsa.
Passo 4
Analisando (
): a aplicação
falha na aditividade e homogeneidade devido ao termo
. Logo não é linear e (
) é falsa.
Passo 5
Analisando (
): para
e
, a composição
A afirmativa diz que a matriz resultante é
, mas o correto é
. Logo (
) é falsa.
Passo 6
Analisando (
): a matriz associada a
é
cujo determinante é
. Logo
é invertível e um isomorfismo; (
) é verdadeira.]
Passo 7
Somando os códigos das afirmativas verdadeiras ((
) e (
)) obtemos