Questão 2. Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}5 & 6 & 9 \\\\ -3 & -4 & -9 \\\\ 1 & 2 & 5\end{array}\right]. Determine uma base para cada autoespaço.
Se possível encontre matrizes P e D tais que A=P D P^{-1}, em que D é uma matriz diagonal com |D|_{11} \geq|D|_{22} \geq|D|_{33}.
(a) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{ccc}2 & -6 & 1\end{array}\right]^{t}.
(b) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{ccc}3 & -6 & 1\end{array}\right]^{t}. (c) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3\end{array}\right]^{t}. (d) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{lll}3 & 1 & -4\end{array}\right]^{t}. (e) A matriz não é diagonalizável.
(f) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & -4\end{array}\right]^{t}.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os autoespaços de
ou seja, para cada valor próprio \lambda determinar uma base de \ker(A-\lambda I). Depois devemos ver se A é diagonalizável (isto é, se podemos escrever A=PDP^{-1} com D diagonal) e, em caso afirmativo, identificar a última coluna de P para comparar com as alternativas.
A multiplicidade geométrica de \lambda=2 (dimensão do autoespaço) é 2, enquanto a multiplicidade algébrica é 3. Como são diferentes, Anão é diagonalizável.
Como A não se diagonaliza, a única alternativa que bate é