Questão 2. Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}5 & 6 & 9 \\\\ -3 & -4 & -9 \\\\ 1 & 2 & 5\end{array}\right]. Determine uma base para cada autoespaço.
Se possível encontre matrizes P e D tais que A=P D P^{-1}, em que D é uma matriz diagonal com |D|_{11} \geq|D|_{22} \geq|D|_{33}.
(a) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{ccc}2 & -6 & 1\end{array}\right]^{t}.
(b) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{ccc}3 & -6 & 1\end{array}\right]^{t}. (c) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3\end{array}\right]^{t}. (d) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{lll}3 & 1 & -4\end{array}\right]^{t}. (e) A matriz não é diagonalizável.
(f) A matriz A é diagonalizável e a última coluna de P é um múltiplo escalar de \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & -4\end{array}\right]^{t}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os autoespaços de
A = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 9\\\\ -3 & -4 & -9\\\\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix},
ou seja, para cada valor próprio \lambda determinar uma base de \ker(A-\lambda I). Depois devemos ver se A é diagonalizável (isto é, se podemos escrever A=PDP^{-1} com D diagonal) e, em caso afirmativo, identificar a última coluna de P para comparar com as alternativas.

Passo 2

Calcule o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 5-\lambda & 6 & 9\\\\ -3 & -4-\lambda & -9\\\\ 1 & 2 & 5-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão, obtém-se
\det(A-\lambda I) =-(\lambda-2)^3.
Como \det(A-\lambda I)=0 implica \lambda=2 com multiplicidade algébrica 3, o único valor próprio é
\lambda=2\quad(\text{multiplicidade 3}).

Passo 3

Para achar o autoespaço associado a \lambda=2, resolvemos
(A-2I)x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9\\\\ -3 & -6 & -9\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Note que as três equações colapsam em
x+2y+3z=0,
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x=-2y-3z.
Podemos tomar parâmetros y e z, obtendo
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =y\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto uma base do autoespaço de \lambda=2 é
\left\{ \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \right\}.

Passo 4

A multiplicidade geométrica de \lambda=2 (dimensão do autoespaço) é 2, enquanto a multiplicidade algébrica é 3. Como são diferentes, A não é diagonalizável.
Como A não se diagonaliza, a única alternativa que bate é

Resposta

(e) A matriz não é diagonalizável.

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