Questão 1 - Patinadora Girando (Conservação de L )
Uma patinadora gira sobre o gelo com os braços abertos. Seu momento de inércia inicial é I_{1}=4,0 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} e sua velocidade angular inicial é \omega_{1}=2,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Ao fechar os braços, seu momento de inércia reduz para I_{2}=2,0 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}.
(a) Escreva a expressão matemática da conservação do momento angular: L_{1}=L_{2}.
(b) Substitua L=I \omega e calcule a nova velocidade angular \omega_{2}.
(c) Calcule a energia cinética de rotação inicial K_{1} e a final K_{2}. O que você observa?
(d) Discuta de onde veio a energia extra no sistema.

Passo 1

O enunciado dá os valores \;I_{1}=4,0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}, \omega_{1}=2,0\\ \mathrm{rad/s} e \;I_{2}=2,0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
O conteúdo necessário é a conservação do momento angular \;L=I\,\omega
e o cálculo da energia cinética de rotação \;K=\tfrac12I\,\omega^{2}.

Passo 2

Pela conservação do momento angular temos
L_{1}=L_{2}
ou seja
I_{1}\,\omega_{1}=I_{2}\,\omega_{2}.
Isolando \omega_{2} e substituindo os valores:
\omega_{2}=\frac{I_{1}\,\omega_{1}}{I_{2}} =\frac{4,0\cdot2,0}{2,0}=4,0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calculamos as energias cinéticas usando
K=\frac12\,I\,\omega^{2}.
Para o estado inicial:
K_{1}=\frac12\cdot4,0\cdot(2,0)^{2}=8,0\\ \mathrm{J}.
Para o estado final:
K_{2}=\frac12\cdot2,0\cdot(4,0)^{2}=16,0\\ \mathrm{J}.
Observa-se que K_{2} é maior que K_{1}; a energia cinética dobrou.

Passo 4

O aumento de energia cinética vem do trabalho realizado pela patinadora ao aproximar os braços: ela consome energia muscular e converte esse trabalho em energia de rotação.

Resposta

(a) \;L_{1}=L_{2}.
(b) \;\omega_{2}=4,0\\ \mathrm{rad/s}.
(c) \;K_{1}=8,0\\ \mathrm{J} e \;K_{2}=16,0\\ \mathrm{J}, logo K aumenta de 8,0\\ \mathrm{J} para 16,0\\ \mathrm{J}.
(d) A energia extra vem do trabalho muscular da patinadora ao aproximar os braços.

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