Questão 2 - Massa Caindo em um Disco Giratório
Um disco de raio R=0,50 \mathrm{~m} e massa M=5,0 \mathrm{~kg} gira livremente em torno de seu eixo com \omega_{0}=10 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Uma pequena massa m=2,0 \mathrm{~kg} cai verticalmente e fica presa na borda do disco.
(a) Calcule o momento de inércia do disco antes da colisão.
(b) Determine o momento de inércia do sistema disco + massa após a colisão.
(c) Usando a conservação do momento angular, calcule a nova velocidade angular \omega.
(d) Compare a energia cinética de rotação antes e depois da colisão. Explique a diferença.

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R=0{,}50\\ \mathrm{m} e massa M=5{,}0\\ \mathrm{kg} girando com \omega_{0}=10\\ \mathrm{rad/s}. Uma massa pontual m=2{,}0\\ \mathrm{kg} gruda na borda do disco. O conteúdo da matéria é dinâmica rotacional: vamos precisar da definição de momento de inércia para corpos rígidos e da conservação do momento angular em colisões sem torques externos.

Passo 2

Para o disco uniforme girando em torno de seu eixo, o momento de inércia vale
I_{\text{disco}} = \frac{1}{2}\,M\,R^{2}.
Substituindo M=5{,}0\\ \mathrm{kg} e R=0{,}50\\ \mathrm{m},
I_{\text{disco}} = \frac{1}{2}\times5{,}0\times(0{,}50)^{2} = \frac{1}{2}\times5{,}0\times0{,}25 =0{,}625\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 3

Após a colisão, o sistema é disco mais massa puntiforme presa a R. O momento de inércia da massa é mR^{2}. Assim,
I_{\text{total}} = I_{\text{disco}} + m\,R^{2} =0{,}625 + 2{,}0\times(0{,}50)^{2} =0{,}625 + 2{,}0\times0{,}25 =0{,}625 +0{,}50 =1{,}125\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 4

Não há torque externo durante a queda da massa, então o momento angular se conserva:
I_{\text{disco}}\,\omega_{0} = I_{\text{total}}\,\omega.
Logo
\omega = \frac{I_{\text{disco}}}{I_{\text{total}}}\,\omega_{0} = \frac{0{,}625}{1{,}125}\times10 \approx5{,}56\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

A energia cinética rotacional é
K = \tfrac{1}{2}I\,\omega^{2}.
Inicialmente,
K_{\text{i}} = \tfrac{1}{2}\,I_{\text{disco}}\,\omega_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\times0{,}625\times10^{2} =0{,}5\times0{,}625\times100 =31{,}25\\ \mathrm{J}.
Depois,
K_{\text{f}} = \tfrac{1}{2}\,I_{\text{total}}\,\omega^{2} = \tfrac{1}{2}\times1{,}125\times(5{,}56)^{2} \approx0{,}5\times1{,}125\times30{,}9 \approx17{,}4\\ \mathrm{J}.
A energia diminui porque a colisão foi inelástica: parte da energia cinética é dissipada internamente quando a massa gruda no disco.

Resposta

(a) I_{\text{disco}}=0{,}625\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
(b) I_{\text{total}}=1{,}125\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
(c) \omega\approx5{,}56\\ \mathrm{rad/s}
(d) K_{\text{i}}=31{,}25\\ \mathrm{J}, K_{\text{f}}\approx17{,}4\\ \mathrm{J}; a energia cai porque a colisão é inelástica.

Exercícios relacionados