Questão 2 - Massa Caindo em um Disco Giratório
Um disco de raio
e massa
gira livremente em torno de seu eixo com
. Uma pequena massa
cai verticalmente e fica presa na borda do disco.
(a) Calcule o momento de inércia do disco antes da colisão.
(b) Determine o momento de inércia do sistema disco + massa após a colisão.
(c) Usando a conservação do momento angular, calcule a nova velocidade angular
.
(d) Compare a energia cinética de rotação antes e depois da colisão. Explique a diferença.
(a) Calcule o momento de inércia do disco antes da colisão.
(b) Determine o momento de inércia do sistema disco + massa após a colisão.
(c) Usando a conservação do momento angular, calcule a nova velocidade angular
(d) Compare a energia cinética de rotação antes e depois da colisão. Explique a diferença.
Passo 1
O enunciado dá um disco de raio
e massa
girando com
. Uma massa pontual
gruda na borda do disco. O conteúdo da matéria é dinâmica rotacional: vamos precisar da definição de momento de inércia para corpos rígidos e da conservação do momento angular em colisões sem torques externos.
Passo 2
Para o disco uniforme girando em torno de seu eixo, o momento de inércia vale
Substituindo
e
,
Passo 3
Após a colisão, o sistema é disco mais massa puntiforme presa a
. O momento de inércia da massa é
. Assim,
Passo 4
Não há torque externo durante a queda da massa, então o momento angular se conserva:
Logo
Passo 5
A energia cinética rotacional é
Inicialmente,
Depois,
A energia diminui porque a colisão foi inelástica: parte da energia cinética é dissipada internamente quando a massa gruda no disco.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) ,
; a energia cai porque a colisão é inelástica.
(b)
(c)
(d)