(Conceitual) O momento angular de uma partícula é dado por
. Mostre que, se a força resultante sobre a partícula for central (sempre dirigida para a origem), o momento angular é conservado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando a força resultante sobre uma partícula é central (ou seja, sempre dirigida para a origem), o momento angular
é uma quantidade conservada. O conteúdo envolve o cálculo da derivada temporal de um produto vetorial e a propriedade de que o torque resultante de uma força central é nulo.
é uma quantidade conservada. O conteúdo envolve o cálculo da derivada temporal de um produto vetorial e a propriedade de que o torque resultante de uma força central é nulo.
Passo 2
Calculemos a derivada temporal de
. Usando a regra do produto vetorial,
Passo 3
Como
, tem-se
onde
é a força resultante sobre a partícula.
Passo 4
Observe que
Portanto sobra apenas
Passo 5
Para uma força central,
está sempre na direção de
, isto é,
Logo o torque em torno da origem é zero.
Passo 6
Daí concluímos que
o que implica que
é constante no tempo.
Resposta
Como
, o momento angular
permanece conservado sob ação de uma força central.