(Conceitual) O momento angular de uma partícula é dado por \vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}. Mostre que, se a força resultante sobre a partícula for central (sempre dirigida para a origem), o momento angular é conservado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando a força resultante sobre uma partícula é central (ou seja, sempre dirigida para a origem), o momento angular \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}
é uma quantidade conservada. O conteúdo envolve o cálculo da derivada temporal de um produto vetorial e a propriedade de que o torque resultante de uma força central é nulo.

Passo 2

Calculemos a derivada temporal de \vec{L}. Usando a regra do produto vetorial,
\frac{d\vec{L}}{dt} =\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p}) =\dot{\vec{r}}\times\vec{p}+\vec{r}\times\dot{\vec{p}}.

Passo 3

Como \vec{p}=m\,\dot{\vec{r}}, tem-se
\dot{\vec{p}} =m\,\ddot{\vec{r}} =\vec{F},
onde \vec{F} é a força resultante sobre a partícula.

Passo 4

Observe que
\dot{\vec{r}}\times\vec{p} =\dot{\vec{r}}\times(m\,\dot{\vec{r}}) =m\,(\dot{\vec{r}}\times\dot{\vec{r}}) =\vec{0}.
Portanto sobra apenas
\frac{d\vec{L}}{dt} =\vec{r}\times\dot{\vec{p}} =\vec{r}\times\vec{F}.

Passo 5

Para uma força central, \vec{F} está sempre na direção de \vec{r}, isto é,
\vec{F}=F(r)\,\hat{r} \quad\Longrightarrow\quad \vec{r}\times\vec{F}=\vec{0}.
Logo o torque em torno da origem é zero.

Passo 6

Daí concluímos que
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0},
o que implica que \vec{L} é constante no tempo.

Resposta

Como \frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}, o momento angular \vec{L} permanece conservado sob ação de uma força central.

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