Um observador vê duas partículas se moverem em sentidos opostos e mede suas velocidades: Ambas tem velocidade de v_{a}=0,8 c. Encontra a velocidade de uma partícula em relação a outra usando (a) a relatividade galileana e (b) a relatividade de Einstein. (c) Qual conclusão podemos tirar desses dois resultados?

Passo 1

O enunciado diz que, num mesmo referencial “solo”, duas partículas A e B movem-se em sentidos opostos com velocidades iguais em módulo, v_{A}=0{,}8\,c e v_{B}=-0{,}8\,c. O objetivo é achar a velocidade de B vista por A usando (a) a adição galileana de velocidades e (b) a fórmula de adição de velocidades da relatividade restrita de Einstein. Finalmente, em (c) vamos comparar os resultados e extrair uma conclusão física.

Passo 2

Pela relatividade galileana, velocidades somam vetorialmente sem limite:
v_{BA}^{\text{(Galileana)}} = v_{B} - v_{A} = -0{,}8\,c - (+0{,}8\,c) = -1{,}6\,c.
O sinal negativo indica que, no referencial de A, B continua vindo na direção oposta, agora com módulo 1{,}6\,c.

Passo 3

Pela relatividade de Einstein, usa-se a regra
v_{BA}^{\text{(Einstein)}} = \frac{v_{B} - v_{A}}{1 - \frac{v_{A}v_{B}}{c^{2}}}.
Substituindo v_{A}=+0{,}8\,c e v_{B}=-0{,}8\,c:
v_{BA}^{\text{(Einstein)}} = \frac{-0{,}8\,c - 0{,}8\,c}{1 - \frac{(0{,}8\,c)(-0{,}8\,c)}{c^{2}}} = \frac{-1{,}6\,c}{1 + 0{,}64} = -\frac{1{,}6}{1{,}64}\,c \approx -0{,}9756\,c.
O valor em módulo é 0{,}9756\,c, sempre menor que c.

Passo 4

Comparando os dois resultados:
– Pela galileana obtivemos módulo acima de c, o que violaria o princípio da relatividade restrita.
– Pela fórmula de Einstein o módulo é menor que c, preservando o limite máximo de velocidade.
Isso mostra que, em altas velocidades, não podemos somar velocidades como na mecânica clássica; é essencial usar a adição relativística para garantir que nenhum observador veja outro ultrapassar c.

Resposta

(a) v_{BA}^{\text{(Galileana)}} = -1{,}6\,c
(b) v_{BA}^{\text{(Einstein)}} \approx -0{,}9756\,c
(c) A adição galileana permite velocidades acima de c, contrariando a relatividade restrita. A regra de Einstein mantém a velocidade relativa abaixo de c, conforme exigido pela teoria.

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