A concentração de uma bactéria poluente num lago é descrita por
C=70 e^{-1.5 t}+2.5 e^{-0.075 t}
Encontrar o tempo para que a concentração seja reduzida para nove.

Passo 1

O enunciado dá a concentração de uma bactéria poluente em função do tempo t como
C(t)=70e^{-1.5t}+2.5e^{-0.075t}
e pede o valor de t tal que C(t)=9. Trata-se de uma equação transcendental, que não se resolve em forma fechada, e portanto usaremos o método de Newton para encontrar numericamente t.

Passo 2

Definimos
f(t)=70e^{-1.5t}+2.5e^{-0.075t}-9
de modo que queremos f(t)=0. Calculamos também a derivada
f'(t)=-1.5\cdot70\,e^{-1.5t}-0.075\cdot2.5\,e^{-0.075t}.

Passo 3

No método de Newton usamos a iteração
t_{n+1}=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)}.
Escolhemos como chute inicial t_0=1{,}5, pois verificamos que f(1)<0 e f(2)>0.

Passo 4

Calculamos em t_0=1{,}5:
f(1{,}5)=70e^{-2.25}+2.5e^{-0.1125}-9\approx0{,}612,
f'(1{,}5)=-105e^{-2.25}-0.1875e^{-0.1125}\approx-11{,}23.
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t_1=1{,}5-\frac{0{,}612}{-11{,}23}\approx1{,}5545.
Repetindo a conta em t_1 obtém-se f(t_1)\approx0{,}007 e f'(t_1)\approx-10{,}34, daí
t_2\approx1{,}5545-\frac{0{,}007}{-10{,}34}\approx1{,}5552.

Passo 5

Como |t_2-t_1|\ll0{,}01, atingimos convergência. Assim
t\approx1{,}56.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente t=1{,}56.

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