Exercício 2.5. Seja n \geq 2 um inteiro. Mostre que 1 / 1+1 / 2+\cdots+1 / n não é um inteiro. (Sugestão: você pode usar o postulado de Bertrand que é na verdade um teorema, e garante que, para cada natural n, há pelo menos um primo entre n e 2 n. { }^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro n\ge2, a soma harmônica
H_n = \frac1{1} + \frac1{2} + \cdots + \frac1{n}
não é um número inteiro. Vamos usar o postulado de Bertrand na forma: para todo inteiro m\ge1 existe um primo p tal que
m < p < 2m.

Passo 2

Escolhemos m = \bigl\lfloor n/2\bigr\rfloor. Pelo postulado de Bertrand existe um primo p com
\bigl\lfloor n/2\bigr\rfloor < p < 2\bigl\lfloor n/2\bigr\rfloor \le n.
Logo
\frac n2 < p \le n.
Em particular, p é um primo que aparece exatamente uma vez como divisor de algum k com 1\le k\le n, e esse k é k=p.

Passo 3

Definimos o mínimo múltiplo comum dos inteiros de 1 a n:
L = \mathrm{lcm}(1,2,\dots,n).
Então podemos escrever
H_n \;=\;\sum_{k=1}^n \frac1{k} \;=\;\sum_{k=1}^n \frac{L}{k}\;\Big/\,L \;=\;\frac{M}{L}, \quad M = \sum_{k=1}^n \frac{L}{k}.
Observamos agora o fator p:
  1. Como p\le n, p divide L.
  2. Se k\neq p, então p não divide k (pois p>n/2 impede múltiplos de p além de p até n). Assim, nesses casos \tfrac{L}{k} continua divisível por p.
  3. No caso k=p, temos \tfrac{L}{p} que já não é divisível por p (pois cancelamos exatamente o único fator p de L).
Portanto, na soma
M = \sum_{k=1}^n \frac{L}{k},
todos os termos são múltiplos de p, exceto o termo \tfrac{L}{p}. Logo
M \equiv \frac{L}{p}\pmod p,
e como \tfrac Lp não é múltiplo de p, temos p\nmid M, mas p\mid L.

Passo 4

Chegamos a
H_n \;=\;\frac{M}{L} \quad\text{com}\quad p\nmid M \quad\text{e}\quad p\mid L.
Isso mostra que na forma reduzida de \tfrac{M}{L} o denominador ainda contém o fator p, ou seja, H_n não pode ser um inteiro.

Resposta

Para todo inteiro n\ge2, a soma
\frac1{1}+\frac1{2}+\cdots+\frac1{n}
não é um número inteiro.

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