Exercício 2.5. Seja
um inteiro. Mostre que
não é um inteiro. (Sugestão: você pode usar o postulado de Bertrand que é na verdade um teorema, e garante que, para cada natural
, há pelo menos um primo entre
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para inteiro
, a soma harmônica
não é um número inteiro. Vamos usar o postulado de Bertrand na forma: para todo inteiro
existe um primo
tal que
Passo 2
Escolhemos
. Pelo postulado de Bertrand existe um primo
com
Logo
Em particular,
é um primo que aparece exatamente uma vez como divisor de algum
com
, e esse
é
.
Passo 3
Definimos o mínimo múltiplo comum dos inteiros de
a
:
Então podemos escrever
Observamos agora o fator
:
- Como
, divide . - Se
, então não divide (pois impede múltiplos de além de até ). Assim, nesses casos continua divisível por . - No caso
, temos que já não é divisível por (pois cancelamos exatamente o único fator de ).
Portanto, na soma
todos os termos são múltiplos de
, exceto o termo
. Logo
e como
não é múltiplo de
, temos
, mas
.
Passo 4
Chegamos a
Isso mostra que na forma reduzida de
o denominador ainda contém o fator
, ou seja,
não pode ser um inteiro.
Resposta
Para todo inteiro
, a soma
não é um número inteiro.