A função f(x)=x^{3}-3 x+1 possui uma única raiz no intervalo (0,1). Calcule-a usando - Método da Bisseção com precisão \varepsilon=10^{-1} e usando 4 casas decimais:
Iteração a m b f(a) f(m) f(b) b-a

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de
f(x)=x^{3}-3x+1
no intervalo (0,1) usando o método da bisseção até que o comprimento do intervalo seja menor ou igual a \varepsilon=10^{-1}. Vamos manter quatro casas decimais em todos os valores de a, b, m, f(a), f(m), f(b) e em b - a.

Passo 2

Iteração 1: \;a_{0}=0.0000,\;b_{0}=1.0000 \;m_{1}=(a_{0}+b_{0})/2=0.5000 \;f(a_{0})=f(0.0000)=1.0000 \;f(m_{1})=f(0.5000)=0.1250-1.5000+1.0000=-0.3750 \;f(b_{0})=f(1.0000)=1.0000-3.0000+1.0000=-1.0000
Como f(a_{0})\times f(m_{1})=1.0000\times(-0.3750)<0, a raiz está em [0.0000,0.5000]. \;b_{1}-a_{1}=0.5000

Passo 3

Iteração 2: \;a_{1}=0.0000,\;b_{1}=0.5000 \;m_{2}=(a_{1}+b_{1})/2=0.2500 \;f(m_{2})=f(0.2500)=0.0156-0.7500+1.0000=0.2656
Como f(a_{1})\times f(m_{2})=1.0000\times0.2656>0, a raiz está em [0.2500,0.5000]. \;b_{2}-a_{2}=0.2500

Passo 4

Iteração 3: \;a_{2}=0.2500,\;b_{2}=0.5000 \;m_{3}=(a_{2}+b_{2})/2=0.3750 \;f(m_{3})=f(0.3750)=0.0527-1.1250+1.0000=-0.0723
Como f(a_{2})\times f(m_{3})=0.2656\times(-0.0723)<0, a raiz está em [0.2500,0.3750]. \;b_{3}-a_{3}=0.1250

Passo 5

Iteração 4: \;a_{3}=0.2500,\;b_{3}=0.3750 \;m_{4}=(a_{3}+b_{3})/2=0.3125 \;f(m_{4})=f(0.3125)=0.0305-0.9375+1.0000=0.0930
Como f(a_{3})\times f(m_{4})=0.2656\times0.0930>0, a raiz está em [0.3125,0.3750]. \;b_{4}-a_{4}=0.0625 que já é \le0.1, logo paramos.

Resposta

A raiz aproximada fica num intervalo de comprimento \le0.1, isto é [0.3125,0.3750].
Como aproximação final, tomamos o ponto médio desse intervalo:
x^{*}\approx\frac{0.3125+0.3750}{2}=0.3438.

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