Reduza à forma polar ou forma trigonométrica cada um dos números complexos dados:
\frac{1}{(1+i)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma polar (ou trigonométrica) o número complexo
\frac{1}{(1+i)^{2}}.
Vamos usar as propriedades de números complexos em forma polar, em particular que se z = re^{i\theta} então
z^n = r^n e^{i n\theta} \quad\text{e}\quad \frac{1}{z} = \frac{1}{r}e^{-i\theta}.

Passo 2

Primeiro, calculamos o quadrado de 1+i na forma algébrica:
(1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i.

Passo 3

Logo,
\frac{1}{(1+i)^{2}} = \frac{1}{2i}.
Para simplificar, lembramos que \frac{1}{i} = -\,i. Assim,
\frac{1}{2i} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{i} = \frac{1}{2}(-\,i) = -\frac{i}{2}.

Passo 4

Escrevemos agora -\tfrac{i}{2} em módulo e argumento. Em coordenadas cartesianas ele é
x = 0,\quad y = -\tfrac12.
O módulo é
r = \sqrt{0^{2} + \bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}} = \tfrac12,
e o argumento \theta é o ângulo cujo seno é -1 e cosseno é 0, ou seja
\theta = -\,\frac{\pi}{2} \quad(\text{ou equivalentemente } \tfrac{3\pi}{2}).

Passo 5

Portanto, em forma trigonométrica (cis) temos
-\frac{i}{2} = \frac12\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{2}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).

Resposta

\frac{1}{(1+i)^{2}} = \frac12\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) + i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr).

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