Provar que, se u e v não são colineares, então
x, y in R, x u+y v=0 Longrightarrow x=0=y

Passo 1

O enunciado diz que temos dois vetores u e v em R^n que não são colineares, ou seja, não existe escalar t tal que u = t,v. Precisamos mostrar que a única solução de
x,u + y,v = 0
é x=0 e y=0. Isso equivale a provar que u e v são linearmente independentes.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que na solução x,u + y,v = 0 tenhamos x neq 0. Então podemos isolar
u = -yx,v
Mas isso diz exatamente que u é múltiplo escalar de v, ou seja, u e v seriam colineares, o que contraria a hipótese. Logo não pode ocorrer xneq0, isto é, necessariamente
x = 0

Passo 3

Com x=0, a equação inicial fica
0cdot u + y,v = 0 Longrightarrow y,v = 0
Como vneq 0 (se v=0 ele também seria colinear com u), devemos ter
y = 0

Resposta

Daqui segue que a única solução de x,u + y,v = 0 é
x = 0 e y = 0

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