Devido à queda nos índices de juros, o First Citizens Bank recebeu muitas hipotecas. Uma amostra recente de 50 empréstimos com garantia hipotecária resultou em uma média de
257.300,00
$25.000
95 %$ para a quantia do empréstimo do cliente.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio padrão da população (assumido conhecido):
. - Nível de confiança desejado:
.
O que se pede: determinar um intervalo de confiança de
para a quantia do empréstimo do cliente (ou seja, um intervalo de confiança para o valor médio verdadeiro da população associada às hipotecas, baseado na amostra dada).
Passo 2
Conceito essencial (passo-a-passo do que vamos usar): um intervalo de confiança para a média populacional
com desvio padrão populacional conhecido é construído a partir da distribuição da média amostral. Se
é conhecido e a amostra é razoavelmente grande, a distribuição de
é aproximadamente normal com média
e desvio padrão
. Ou seja,
Isso nos permite usar valores da distribuição normal padrão para montar o intervalo.
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança (quando
é conhecido):
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente a (para cobertura ). -
é o desvio padrão da população (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). - O termo
chama-se erro padrão da média.
Passo 4
Determinar
para
de confiança:
-
→ → . - O valor crítico da normal padrão para cauda de
é o bem conhecido
(Isto é padrão: em tabelas da normal,
.)
Passo 5
Calcular o erro padrão
:
- Primeiro a raiz:
. - Agora
Usando notação brasileira (ponto para milhares, vírgula para decimais), isto é aproximadamente
.
Passo 6
Calcular a margem de erro
:
- Usando
e o erro padrão calculado,
Arredondando para centavos:
(faça sempre o arredondamento final consistente).
Passo 7
Construir os limites do intervalo:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Passo 8
Interpretação curta e encorajamento: o intervalo obtido significa que, com
de confiança (ou seja, se repetíssemos esse processo muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos conteriam o verdadeiro valor médio
), o valor médio dos empréstimos está entre
e
. Se a sua dúvida na prova for sobre um único novo cliente individual, aí seria preciso um intervalo de previsão (diferente); mas para estimar a média populational, este é o procedimento certo. Você está indo bem — esses passos são os que costumam cair na prova!