Devido à queda nos índices de juros, o First Citizens Bank recebeu muitas hipotecas. Uma amostra recente de 50 empréstimos com garantia hipotecária resultou em uma média de \ 257.300,00 . Assuma o desvio padrão da população deãçã$25.000 . Se o próximo cliente cancelar um empréstimo com garantia hipotecária, determine um intervalo de confiança deóéáç95 %$ para a quantia do empréstimo do cliente.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Tamanho da amostra: n=50.
  • Média amostral: \bar{x}=\$257.300,00.
  • Desvio padrão da população (assumido conhecido): \sigma=\$25.000,00.
  • Nível de confiança desejado: 95\%.
O que se pede: determinar um intervalo de confiança de 95\% para a quantia do empréstimo do cliente (ou seja, um intervalo de confiança para o valor médio verdadeiro da população associada às hipotecas, baseado na amostra dada).

Passo 2

Conceito essencial (passo-a-passo do que vamos usar): um intervalo de confiança para a média populacional \mu com desvio padrão populacional conhecido é construído a partir da distribuição da média amostral. Se \sigma é conhecido e a amostra é razoavelmente grande, a distribuição de \bar{x} é aproximadamente normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Ou seja,
\bar{x}\sim\text{aprox. }N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Isso nos permite usar valores da distribuição normal padrão para montar o intervalo.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança (quando \sigma é conhecido):
\text{IC}_{1-\alpha}\text{ para }\mu:\quad \bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \$257.300,00).
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente a \alpha/2 (para cobertura 1-\alpha).
  • \sigma é o desvio padrão da população (aqui \$25.000,00).
  • n é o tamanho da amostra (aqui 50).
  • O termo \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média.

Passo 4

Determinar z_{\alpha/2} para 95\% de confiança:
  • 1-\alpha=0,95 \alpha=0,05 \alpha/2=0,025.
  • O valor crítico da normal padrão para cauda de 0,025 é o bem conhecido
z_{0,025}=1,96.
(Isto é padrão: em tabelas da normal, P(Z>1,96)=0,025.)

Passo 5

Calcular o erro padrão \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}:
  • Primeiro a raiz: \sqrt{n}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\approx 7,07106781.
  • Agora
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\$25.000,00}{7,07106781}\approx \$3.535,5339.
Usando notação brasileira (ponto para milhares, vírgula para decimais), isto é aproximadamente \$3.535,53.

Passo 6

Calcular a margem de erro E=z_{0,025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}:
  • Usando z_{0,025}=1,96 e o erro padrão calculado,
E=1,96\times \$3.535,5339\approx \$6.929,6465.
Arredondando para centavos: E\approx \$6.929,65 (faça sempre o arredondamento final consistente).

Passo 7

Construir os limites do intervalo:
  • Limite inferior:
\bar{x}-E=\$257.300,00-\$6.929,65=\$250.370,35.
  • Limite superior:
\bar{x}+E=\$257.300,00+\$6.929,65=\$264.229,65.

Passo 8

Interpretação curta e encorajamento: o intervalo obtido significa que, com 95\% de confiança (ou seja, se repetíssemos esse processo muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos construídos conteriam o verdadeiro valor médio \mu), o valor médio dos empréstimos está entre \$250.370,35 e \$264.229,65. Se a sua dúvida na prova for sobre um único novo cliente individual, aí seria preciso um intervalo de previsão (diferente); mas para estimar a média populational, este é o procedimento certo. Você está indo bem — esses passos são os que costumam cair na prova!

Resposta

[\$250.370,35,\\ \$264.229,65]

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