A concentração de um medicamento no sangue decai 12 \% a cada hora. Se a concentração inicial era 80 \mathrm{mg} / \mathrm{L}, após quantas horas ficará abaixo de 40 \mathrm{mg} / \mathrm{L} ?

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (de forma clara):
  • Concentração inicial: 80\\ \mathrm{mg/L}.
  • A cada hora a concentração decai 12\%.
  • Pergunta: após quantas horas a concentração ficará abaixo de 40\\ \mathrm{mg/L}?

Passo 2

Modelagem matemática (por que esse modelo): como a cada hora a concentração diminui 12\%, a cada hora a concentração é multiplicada por 1-0,12=0,88. Portanto, se t é o número de horas (pode ser real), a concentração depois de t horas é dada pelo modelo exponencial
C(t)=80\cdot 0,88^{t},
onde C(t) está em \mathrm{mg/L}. Explicação: isso vem da ideia de juros compostos/decadência exponencial — aplicamos repetidamente o fator 0,88 uma vez por cada hora.

Passo 3

Escrever a condição pedida como desigualdade: queremos C(t)<40. Substituindo o modelo,
80\cdot 0,88^{t}<40.
Dividindo ambos os lados por 80 (positivo, então a desigualdade não muda),
0,88^{t}<0,5.

Passo 4

Resolver a desigualdade exponencial com logaritmos. Aplicando o logaritmo natural (ln) aos dois lados — o ln é função estritamente crescente em (0,\infty), então a desigualdade inicial entre números positivos é preservada:
\ln(0,88^{t})<\ln(0,5).
Usando a propriedade \ln(a^{t})=t\ln(a) obtemos
t\ln(0,88)<\ln(0,5).
Agora atenção ao sinal: \ln(0,88)<0 (porque 0,88<1), então ao dividir por \ln(0,88) a desigualdade inverte o sentido. Logo
t>\frac{\ln(0,5)}{\ln(0,88)}.

Passo 5

Cálculo numérico do tempo mínimo:
  • \ln(0,5)\approx -0,693147.
  • \ln(0,88)\approx -0,127834.
    Fazendo a divisão,
t>\frac{-0,693147}{-0,127834}\approx 5,421\ldots
Arredondando convenientemente, isso dá aproximadamente t\approx 5,42 horas.

Passo 6

Interpretação prática (horas inteiras): o resultado significa que a concentração fica abaixo de 40\\ \mathrm{mg/L} somente após cerca de 5,42 horas. Como em situações práticas muitas vezes usamos horas inteiras, verificamos:
C(5)=80\cdot 0,88^{5}\approx 42,22\\ \mathrm{mg/L}\quad(\text{ainda acima de }40),
C(6)=80\cdot 0,88^{6}\approx 37,15\\ \mathrm{mg/L}\quad(\text{abaixo de }40).
Portanto, se for necessário um número inteiro de horas, após 6 horas já estará abaixo de 40\\ \mathrm{mg/L}.

Resposta

Aproximadamente 5,42 horas.
Em horas inteiras: 6 horas.

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