A concentração de um medicamento no sangue decai
a cada hora. Se a concentração inicial era
, após quantas horas ficará abaixo de
?
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (de forma clara):
- Concentração inicial:
. - A cada hora a concentração decai
. - Pergunta: após quantas horas a concentração ficará abaixo de
?
Passo 2
Modelagem matemática (por que esse modelo): como a cada hora a concentração diminui
, a cada hora a concentração é multiplicada por
. Portanto, se
é o número de horas (pode ser real), a concentração depois de
horas é dada pelo modelo exponencial
onde
está em
. Explicação: isso vem da ideia de juros compostos/decadência exponencial — aplicamos repetidamente o fator
uma vez por cada hora.
Passo 3
Escrever a condição pedida como desigualdade: queremos
. Substituindo o modelo,
Dividindo ambos os lados por
(positivo, então a desigualdade não muda),
Passo 4
Resolver a desigualdade exponencial com logaritmos. Aplicando o logaritmo natural (ln) aos dois lados — o ln é função estritamente crescente em
, então a desigualdade inicial entre números positivos é preservada:
Usando a propriedade
obtemos
Agora atenção ao sinal:
(porque
), então ao dividir por
a desigualdade inverte o sentido. Logo
Passo 5
Cálculo numérico do tempo mínimo:
-
. -
.
Fazendo a divisão,
Arredondando convenientemente, isso dá aproximadamente
horas.
Passo 6
Interpretação prática (horas inteiras): o resultado significa que a concentração fica abaixo de
somente após cerca de
horas. Como em situações práticas muitas vezes usamos horas inteiras, verificamos:
Portanto, se for necessário um número inteiro de horas, após
horas já estará abaixo de
.
Resposta
Aproximadamente
horas.
Em horas inteiras: horas.
Em horas inteiras: