O consumo mensal de uma residência segue
C(t)=120 \cdot 1,04^{t} .
A casa perde o desconto quando atinge \mathbf{1 5 0 ~ k W h}. Em quantos meses isso acontecerá?

Passo 1

O enunciado dá a função do consumo mensal e pede quando a residência atinge 150 kWh, perdendo o desconto. Informações fornecidas:
  • Consumo mensal: C(t)=120\cdot 1,04^{t}, onde t é o tempo em meses.
  • Limite do desconto: 150 kWh.
  • Pergunta: em quantos meses t temos C(t)=150?

Passo 2

Primeira ação matemática: igualar a função ao limite para encontrar o tempo t em que o consumo alcança 150. Monta-se a equação:
120\cdot 1,04^{t}=150.

Passo 3

Isolar a potência exponencial. Divido ambos os lados por 120:
1,04^{t}=\frac{150}{120}=1,25.
Explicação didática: aqui 1,04^{t} é a parte que depende de t. Para resolver uma equação do tipo a^{t}=b (com a>0), usamos logaritmos porque eles “desfazem” a exponenciação: o logaritmo transforma potência em multiplicação, permitindo isolar t.

Passo 4

Aplicar logaritmo natural em ambos os lados e usar a propriedade \ln(a^{t})=t\ln(a). Assim:
\ln\bigl(1,04^{t}\bigr)=\ln(1,25)
t\cdot \ln(1,04)=\ln(1,25).
Isolando t:
t=\frac{\ln(1,25)}{\ln(1,04)}.
Explicação das notações: \ln é o logaritmo natural (base e); \ln(1,25) e \ln(1,04) são números reais que podemos calcular com uma calculadora, ou aproximar usando tabelas.

Passo 5

Calcular numericamente a fração. Usando valores aproximados:
\ln(1,25)\approx 0,22314355,\qquad \ln(1,04)\approx 0,03922071.
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t\approx\frac{0,22314355}{0,03922071}\approx 5,69.
Passo didático: o resultado t\approx 5,69 significa que, após cerca de 5,69 meses, o consumo atinge 150 kWh.

Passo 6

Interpretação prática para a prova: tempos fracionários significam que o limite é atingido durante o mês decimal. Como t mede meses completos a partir de t=0, o consumo ultrapassa ou alcança 150 kWh no decorrer do 6.º mês. Se a pergunta pede quantos meses completos até perder o desconto, responde-se 6 meses; se aceita fração, dá-se 5,69 meses.

Resposta

t\approx 5,69 meses (portanto, perde o desconto ao longo do 6^\circ mês).

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