A população de células cresce segundo
P(t)=400 e^{0,28 t} .
Quantas células existirão após 6 horas?

Passo 1

O enunciado dá a função que descreve o crescimento da população de células:
P(t)=400\,e^{0,28t}.
O que é pedido: determinar quantas células existirão após 6 horas.
Informações relevantes que temos:
  • A população inicial está incorporada no fator 400 (coeficiente multiplicativo).
  • A taxa de crescimento é 0,28 por hora (coeficiente do tempo no expoente).
  • O tempo que nos interessa é t=6 horas.

Passo 2

Entendendo a fórmula e a estratégia de cálculo (aula rápida e prática).
A função P(t)=400\,e^{0,28t} é um crescimento exponencial. Isso significa que a população cresce multiplicativamente: a cada hora, a população é multiplicada por um fator fixo em média. Aqui:
  • 400 é o valor quando t=0 (constante multiplicativa inicial).
  • e é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,7182818. É uma constante matemática que aparece muito em problemas de crescimento contínuo.
  • 0,28 é a razão de crescimento contínuo por unidade de tempo (hora).
    Para achar P(6) basta substituir t=6 na expressão e calcular o exponencial:
P(6)=400\,e^{0,28\cdot 6}.

Passo 3

Calcular o produto no expoente:
0,28\cdot 6 = 1,68.
Portanto
P(6)=400\,e^{1,68}.

Passo 4

Como calcular e^{1,68} sem depender de uma calculadora sofisticada (truquezinho numérico).
Usa-se a propriedade exponencial e^{a+b}=e^a e^b. Escolho separar 1,68=1+0,68, assim:
e^{1,68}=e^1\cdot e^{0,68}=e\cdot e^{0,68}.
Sabendo que e\approx2,7182818, falta estimar e^{0,68}. Uma aproximação eficiente é notar que \ln 2\approx0,693147, então 0,68 está bem perto de \ln 2. Escrevo
e^{0,68}=e^{0,693147-0,013147}=e^{0,693147}\,e^{-0,013147}=2\cdot e^{-0,013147}.
Agora uso a expansão em série truncada para expoentes pequenos: para x pequeno,
e^{x}\approx 1+x+\frac{x^2}{2}.
Aqui x=-0,013147 (pequeno), então
e^{-0,013147}\approx 1-0,013147+\frac{(0,013147)^2}{2}.
Calculemos passo a passo:
(0,013147)^2\approx 0,00017284,
\frac{(0,013147)^2}{2}\approx 0,00008642.
Assim
e^{-0,013147}\approx 1-0,013147+0,00008642\approx 0,9869394.
Logo
e^{0,68}\approx 2\cdot 0,9869394 \approx 1,9738788.

Passo 5

Multiplicando para obter e^{1,68}:
e^{1,68}=e\cdot e^{0,68}\approx 2,7182818\cdot 1,9738788.
Faço a multiplicação em partes para ficar claro:
2,7182818\cdot 1,9738788 \approx 5,3655604.
Portanto
e^{1,68}\approx 5,3655604.

Passo 6

Agora volto para P(6):
P(6)=400\cdot e^{1,68}\approx 400\cdot 5,3655604=2146,22416.
Como estamos contando células, faz sentido arredondar para um número inteiro.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: após 6 horas a população cresce de 400 para aproximadamente 2146 células — ou seja, um pouco mais que quíntuplo. Se ficou tenso com os cálculos de exponenciais, o truque de separar o expoente em uma parte inteira e uma parte próxima de \ln 2 (ou outro valor conhecido) ajuda bastante em provas sem calculadora. Você está indo bem — respira fundo e repete esse tipo de exercício mais algumas vezes!

Resposta

2146 células (aproximadamente)

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