A população de células cresce segundo
Quantas células existirão após 6 horas?
Passo 1
O enunciado dá a função que descreve o crescimento da população de células:
O que é pedido: determinar quantas células existirão após 6 horas.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A população inicial está incorporada no fator
(coeficiente multiplicativo). - A taxa de crescimento é
por hora (coeficiente do tempo no expoente). - O tempo que nos interessa é
horas.
Passo 2
Entendendo a fórmula e a estratégia de cálculo (aula rápida e prática).
A função é um crescimento exponencial. Isso significa que a população cresce multiplicativamente: a cada hora, a população é multiplicada por um fator fixo em média. Aqui:
A função
-
é o valor quando (constante multiplicativa inicial). -
é a base do logaritmo natural, aproximadamente . É uma constante matemática que aparece muito em problemas de crescimento contínuo. -
é a razão de crescimento contínuo por unidade de tempo (hora).
Para acharbasta substituir na expressão e calcular o exponencial:
Passo 3
Calcular o produto no expoente:
Portanto
Passo 4
Como calcular
sem depender de uma calculadora sofisticada (truquezinho numérico).
Usa-se a propriedade exponencial . Escolho separar
, assim:
Usa-se a propriedade exponencial
Sabendo que
, falta estimar
. Uma aproximação eficiente é notar que
, então
está bem perto de
. Escrevo
Agora uso a expansão em série truncada para expoentes pequenos: para
pequeno,
Aqui
(pequeno), então
Calculemos passo a passo:
Assim
Logo
Passo 5
Multiplicando para obter
:
Faço a multiplicação em partes para ficar claro:
Portanto
Passo 6
Agora volto para
:
Como estamos contando células, faz sentido arredondar para um número inteiro.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: após 6 horas a população cresce de
para aproximadamente
células — ou seja, um pouco mais que quíntuplo. Se ficou tenso com os cálculos de exponenciais, o truque de separar o expoente em uma parte inteira e uma parte próxima de
(ou outro valor conhecido) ajuda bastante em provas sem calculadora. Você está indo bem — respira fundo e repete esse tipo de exercício mais algumas vezes!