A concentração de um medicamento no sangue de um paciente é determinada por c(t)=A t e^-t / 3 miligramas por mililitro, t horas após a injeção de A unidades. A concentração máxima segura é de 1 mg / ml.
a. Qual é a quantidade a ser injetada para que esta concentração máxima segura seja alcançada e quando esse valor máximo será alcançado?
b. Uma quantidade adicional desse medicamento deve ser administrada ao paciente após a concentração cair para 0,25 mg / ml. Determine, com precisão de minutos, quando essa segunda injeção deve ser aplicada.
c. Suponha que a concentração após injeções consecutivas seja aditiva e que 75 % da quantidade injetada originalmente seja administrada na segunda injeção. Quando a terceira injeção deve ser aplicada?

Passo 1

Beleza, o exercício é de Cálculo (crescimento e decaimento exponencial, máximos locais e resolução de equações transcendentais). A concentração no sangue é
c(t)=A,t,e^-t/3
e queremos:
a) achar e o instante em que atinge o máximo seguro de mg/ml;
b) descobrir quando , após cair para mg/ml, vai pedir uma segunda dose;
c) com a segunda dose de de , achar quando fica de novo em mg/ml para aplicar a terceira injeção.
Pra isso vamos usar:
  • derivada pra achar o máximo de ;
  • manipular a equação e resolver numericamente (ou com Lambert W) pra achar os instantes de injeção.

Passo 2

Parte (a): achar o máximo de c'(t)=ddtl(A,t,e^-t/3r) =A,e^-t/3l(1 - t3r) e forçar esse valor a ser 1- t3=0Longrightarrow t=3 horas .
  1. Derivada de c(3)=Acdot3cdot e^-3/3=3A,e^-1=3Ae :
3Ae=1Longrightarrow A=e3approx0,9061 (unidades)
  1. Zera a derivada para achar o pico:
  1. O valor máximo é
  1. Queremos , então

Passo 3

Parte (b): saber quando, depois de passar do pico, c(t)=e3;t,e^-t/3=0,25 ;Longrightarrow; t,e^-t/3=0,75 volta a 4,374 h = 4 h + 0,374times60 minapprox4h 22min .
  1. Agora . Resolvemos
  1. Essa equação não tem solução em forma fechada (sem Lambert W), então fazemos aproximação numérica.
    • Checamos que há duas soluções: uma antes do pico ( h) e outra depois ( h).
    • Como queremos a queda para , escolhemos h.
  2. Em horas e minutos:

Passo 4

Parte ©: agora a concentração é a soma dos dois picos:
crm total(t)=A,t,e^-t/3 +0,75,A,l(t - t2r),e^-(t - t2)/3,
onde crm total(t3)=0,25 h e t3approx15,73 h . Queremos achar 15,73-4,374approx11,36 happrox11h 22min tal que
  1. Substituímos e .
  2. Resolvemos numericamente (tentando valores ou usando alguma rotina de aproximação) para .
  3. O valor dá, aproximadamente,
após a primeira injeção, ou seja cerca de h 44 min depois da dose inicial. Se quiser saber quanto depois da segunda, basta fazer

Resposta

a) unidades e o pico ocorre em h.
b) A segunda injeção deve ocorrer quando cai a , ou seja em h 22 min.
c) Com 75% de na segunda dose, a terceira injeção sai em h 44 min após a primeira (≈11 h 22 min depois da segunda).

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