A concentração de um medicamento no sangue de um paciente é determinada por
miligramas por mililitro,
horas após a injeção de
unidades. A concentração máxima segura é de
.
a. Qual é a quantidade a ser injetada para que esta concentração máxima segura seja alcançada e quando esse valor máximo será alcançado?
b. Uma quantidade adicional desse medicamento deve ser administrada ao paciente após a concentração cair para
. Determine, com precisão de minutos, quando essa segunda injeção deve ser aplicada.
c. Suponha que a concentração após injeções consecutivas seja aditiva e que
da quantidade injetada originalmente seja administrada na segunda injeção. Quando a terceira injeção deve ser aplicada?
a. Qual é a quantidade a ser injetada para que esta concentração máxima segura seja alcançada e quando esse valor máximo será alcançado?
b. Uma quantidade adicional desse medicamento deve ser administrada ao paciente após a concentração cair para
c. Suponha que a concentração após injeções consecutivas seja aditiva e que
Passo 1
Beleza, o exercício é de Cálculo (crescimento e decaimento exponencial, máximos locais e resolução de equações transcendentais). A concentração no sangue é
e queremos:
a) achar e o instante em que
atinge o máximo seguro de
mg/ml;
b) descobrir quando , após cair para
mg/ml, vai pedir uma segunda dose;
c) com a segunda dose de de
, achar quando fica de novo em
mg/ml para aplicar a terceira injeção.
Pra isso vamos usar:
a) achar
b) descobrir quando
c) com a segunda dose de
Pra isso vamos usar:
- derivada pra achar o máximo de
; - manipular a equação
e resolver numericamente (ou com Lambert W) pra achar os instantes de injeção.
Passo 2
Parte (a): achar o máximo de
e forçar esse valor a ser
.
- Derivada de
:
- Zera a derivada para achar o pico:
- O valor máximo é
- Queremos
, então
Passo 3
Parte (b): saber quando, depois de passar do pico,
volta a
.
- Agora
. Resolvemos
- Essa equação não tem solução em forma fechada (sem Lambert W), então fazemos aproximação numérica.
- Checamos que há duas soluções: uma antes do pico (
h) e outra depois ( h). - Como queremos a queda para
, escolhemos h.
- Checamos que há duas soluções: uma antes do pico (
- Em horas e minutos:
Passo 4
Parte ©: agora a concentração é a soma dos dois picos:
onde
h e
. Queremos achar
tal que
- Substituímos
e . - Resolvemos numericamente (tentando valores ou usando alguma rotina de aproximação) para
. - O valor dá, aproximadamente,
após a primeira injeção, ou seja cerca de
h 44 min depois da dose inicial. Se quiser saber quanto depois da segunda, basta fazer
Resposta
a)
unidades e o pico ocorre em
h.
b) A segunda injeção deve ocorrer quando cai a
, ou seja em
h 22 min.
c) Com 75% de na segunda dose, a terceira injeção sai em
h 44 min após a primeira (≈11 h 22 min depois da segunda).
b) A segunda injeção deve ocorrer quando
c) Com 75% de