1. Determine uma aproximação para lambda, com precisão de 10^-4, para a equação da população
1564000=1000000 e^lambda+435000lambda(e^lambda-1)
discutida na introdução deste capítulo. Utilize esse valor para calcular a população no fim do segundo ano, supondo que a taxa de imigração durante o ano permaneça em 435000 indivíduos por ano.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
  1. Achar λ satisfazendo com precisão de 10⁻⁴ a equação
1564000 ;=; 1000000,e^lambda ;+;435000lambda,l(e^lambda-1r),
que vem do modelo de crescimento populacional com imigração constante.
2) Usar esse λ pra calcular a população no fim do segundo ano, assumindo que a imigração continua 435 000 indivíduos/ano.
Para resolver isso, vamos usar:
  • Método de Newton (iterativo) pra achar λ numérico.
  • A fórmula fechada do modelo pra avaliar .

Passo 2

Primeiro definimos uma função f(lambda) ;=; 1000000,e^lambda ;+;435000lambda,(e^lambda-1);-;1564000 tal que g'(lambda) =435000l[ (e^lambda-1),(-1)lambda^-2 ;+;lambda^-1,e^lambda r] =435000l[ -e^lambda-1lambda^2 ;+;e^lambdalambda r] seja exatamente nossa equação:
f'(lambda) =1000000,e^lambda ;+;435000l[ -e^lambda-1lambda^2 ;+;e^lambdalambda r]
Para Newton, precisamos também de lambdan+1 =lambdan -f(lambdan)f'(lambdan) . Vamos derivar termo a termo:
  1. Se , usamos a regra do quociente (ou produto):
    — escreva .
    — derivada:
Logo
No método de Newton a iteração é
A gente escolhe um chute inicial e itera até .

Passo 3

Vamos com chute boxedlambdaapprox0.1014 .
  1. Calcular e , depois
    .
    — Numéricamente dá
    .
  2. Repetimos para :
    .
  3. Mais uma iteração:
    .
Como a diferença entre e já é menor que , paramos.
Assim:

Passo 4

Agora usamos esse P(t) =1000000,e^lambda t +435000lambdal(e^lambda t-1r) pra ver a população após 2 anos. A fórmula geral é
P(2)approx1,224,800+963,000approx2,187,800
Substituindo e :
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:

    Somando dá

Resposta

λ ≈ 0.1014 (erro <10⁻⁴)
População ao fim do 2º ano ≈ 2 187 800 indivíduos.

Exercícios relacionados