- Determine uma aproximação para
, com precisão de
, para a equação da população
discutida na introdução deste capítulo. Utilize esse valor para calcular a população no fim do segundo ano, supondo que a taxa de imigração durante o ano permaneça em 435000 indivíduos por ano.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede duas coisas:
- Achar λ satisfazendo com precisão de 10⁻⁴ a equação
que vem do modelo de crescimento populacional com imigração constante.
2) Usar esse λ pra calcular a população no fim do segundo ano, assumindo que a imigração continua 435 000 indivíduos/ano.
2) Usar esse λ pra calcular a população no fim do segundo ano, assumindo que a imigração continua 435 000 indivíduos/ano.
Para resolver isso, vamos usar:
- Método de Newton (iterativo) pra achar λ numérico.
- A fórmula fechada do modelo pra avaliar
.
Passo 2
Primeiro definimos uma função
tal que
seja exatamente nossa equação:
Para Newton, precisamos também de
. Vamos derivar termo a termo:
-
- Se
, usamos a regra do quociente (ou produto):
— escreva.
— derivada:
Logo
No método de Newton a iteração é
A gente escolhe um chute inicial
e itera até
.
Passo 3
Vamos com chute
.
- Calcular
e , depois
.
— Numéricamente dá
. - Repetimos para
:
. - Mais uma iteração:
.
Como a diferença entre
e
já é menor que
, paramos.
Assim:
Assim:
Passo 4
Agora usamos esse
pra ver a população após 2 anos. A fórmula geral é
Substituindo
e
:
-
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Somando dá
Resposta
λ ≈ 0.1014 (erro <10⁻⁴)
População ao fim do 2º ano ≈ 2 187 800 indivíduos.
População ao fim do 2º ano ≈ 2 187 800 indivíduos.