As seqüências a seguir são linearmente convergentes. Gere os primeiros cinco termos da seqüência De, utilizando o método de Aitken.

Passo 1

Opa! Então o enunciado pede para gerarmos os cinco primeiros termos da sequência acelerada usando o processo de Aitken. Isso faz parte de Métodos Numéricos, em particular de técnicas para acelerar a convergência de uma sequência que converge linearmente.
O que vamos precisar:
  1. Gerar os termos da iteração
  2. Calcular as diferenças e
  3. Aplicar a fórmula de Aitken
    Não se preocupa: vou explicar cada teoria na hora de usar.

Passo 2

Primeiro, calcular os p0 = 0,5, pn = 2 - e^pn-1 + pn-1^23 com a regra
p0 &= 0,500000, p1 &= 2 - e^0.5 + 0.5^23approx 0,200426, p2 &= 2 - e^0.200426 + (0.200426)^23approx 0,272753, p3 &= 2 - e^0.272753 + (0.272753)^23approx 0,253611, p4 &= 2 - e^0.253611 + (0.253611)^23approx 0,258451, p5 &= 2 - e^0.258451 + (0.258451)^23approx 0,257277, p6 &= 2 - e^0.257277 + (0.257277)^23approx 0,257598
Em cada passo a gente estima com a expansão ou calculadora. Os valores aproximados são:

Passo 3

Agora a parte principal do Aitken:
– Definimos De.
– E De.
Calculando numericamente:

Passo 4

A fórmula de Aitken é
hat pn ;=; pn ;-;(De
Basta substituir cada hat p0 &= 0.5 - (-0.299574)^20.371901approx 0.258618, hat p1 &= 0.200426 - (0.072327)^2-0.091469approx 0.257628, hat p2 &= 0.272753 - (-0.019142)^20.023982approx 0.257483, hat p3 &= 0.253611 - (0.004840)^2-0.006014approx 0.257506, hat p4 &= 0.258451 - (-0.001174)^20.001495approx 0.257528 :

Resposta

Os cinco primeiros termos da sequência acelerada hat p0 approx 0.258618, hat p1 approx 0.257628, hat p2 approx 0.257483, hat p3 approx 0.257506, hat p4 approx 0.257528 são aproximadamente:

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