A concentração C(t) em miligramas por centímetros cúbicos (mg / cm^3) de um medicamento no sangue de um paciente t hora após receber uma injeção está diminuindo a uma taxa de C^prime(t)=-0,33 traiz0,02 t^2+10, mg / cm^3, por hora. Qual é a variação da concentração do medicamento nas primeiras quatro horas após a injeção?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação da concentração de um remédio no sangue: C'(t)=-0.33,traiz0.02,t^2+10 (mg/cm³ por hora). Queremos a variação total de C entre t=0 e t=4 horas. Para isso vamos usar o conceito de integral definida de uma taxa de variação.

Passo 2

A variação De de C entre as horas 0 e 4 é dada por
De

Passo 3

Para calcular essa integral, fazemos a substituição u = 0.02,t^2 + 10. Então du = 0.04,t,dt, logo t,dt = du/0.04. Quando t=0, u=10; quando t=4, u=0.02cdot16+10=10.32. Substituindo,
integral0^4 -0.33,traiz0.02,t^2+10,dt = integral10^10.32 -0.33raizucdotdu0.04 = -8.25integral10^10.32 u^-1/2,du

Passo 4

A primitiva de u^-1/2 é 2raizu. Logo,
-8.25integral10^10.32 u^-1/2,du = -8.25cdot2l[raizur]10^10.32 = -16.5l(raiz10.32-raiz10r)

Passo 5

Calculando numericamente: raiz10.32approx3.212 e raiz10approx3.1623, então
De

Resposta

A variação da concentração nas primeiras quatro horas é aproximadamente -0,82 mg/cm³.

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