A concentração de um poluente em um efluente tratado é modelada por C(x)=\frac{100}{1+x^{2}}(\mathrm{em} \mathrm{mg} / \mathrm{L} ), onde x é a distância em km ao longo do rio.
  1. Determine a integral indefinida de C(x).
  2. Calcule a concentração acumulada no intervalo [0,10] \mathrm{km}.
  3. Resolva utilizando integração por substituição trigonométrica.
  4. Analise como esse cálculo auxilia no monitoramento ambiental e na produção mais limpa, conectando à Engenharia Química, ODS 9, ODS 11 e ODS 12.

Passo 1

O enunciado nos dá a concentração de um poluente ao longo de um rio como
C(x)=\frac{100}{1+x^{2}}
e pede:
  1. A integral indefinida de C(x).
  2. A concentração acumulada em [0,10] km.
  3. Resolver por substituição trigonométrica.
  4. Conectar o resultado ao monitoramento ambiental e à produção mais limpa (Engenharia Química, ODS 9, 11 e 12).

Passo 2

Para achar a integral indefinida usamos a fórmula básica
\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\arctan(x)+C.
Multiplicando por 100, obtemos
\int C(x)\,dx =\int\frac{100}{1+x^{2}}\,dx =100\arctan(x)+C.

Passo 3

Para a concentração acumulada em [0,10], fazemos a integral definida:
\int_{0}^{10}\frac{100}{1+x^{2}}\,dx =100\bigl[\arctan(x)\bigr]_{0}^{10} =100\bigl(\arctan(10)-\arctan(0)\bigr) =100\arctan(10).
Como \arctan(10)\approx1{,}4711, isso dá aproximadamente
100\times1{,}4711=147{,}11.

Passo 4

Na substituição trigonométrica, fazemos
x=\tan(\theta), \quad dx=\operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta, \quad 1+x^{2}=1+\tan^{2}(\theta)=\operatorname{sec}^{2}(\theta).
Logo
\int\frac{100}{1+x^{2}}\,dx =100\int\frac{\operatorname{sec}^{2}(\theta)}{\operatorname{sec}^{2}(\theta)}\,d\theta =100\int d\theta =100\theta+C.
Retornando a variável x, temos \theta=\arctan(x) e portanto
\int C(x)\,dx=100\arctan(x)+C,
o mesmo resultado do passo 2.

Passo 5

Esse cálculo é fundamental para o monitoramento ambiental porque quantifica a carga total de poluente que passa por um trecho do rio, permitindo:
  1. Ajustar processos de tratamento e verificar se estão dentro dos limites legais de descarga.
  2. Otimizar a operação de estações de tratamento (Engenharia Química) visando maior eficiência e menor produção de resíduos.
  3. Atender ao ODS 9 (inovação e infraestrutura sustentável) ao desenvolver tecnologias de análise e tratamento.
  4. Contribuir para o ODS 11 (cidades e comunidades sustentáveis) ao garantir corpos d’água mais limpos.
  5. Apoiar o ODS 12 (produção e consumo responsáveis) ao reduzir a carga poluente final e promover processos químicos mais limpos.

Resposta

  1. \int C(x)\,dx=100\arctan(x)+C.
  2. \int_{0}^{10}\frac{100}{1+x^{2}}\,dx=100\arctan(10)\approx147{,}11.
  3. Usando x=\tan(\theta), dx=\operatorname{sec}^{2}(\theta)d\theta, obtemos \int C(x)dx=100\theta+C e voltamos em x com \theta=\arctan(x).
  4. O resultado auxilia no controle de cargas poluentes, na otimização de processos químicos e contribui para os ODS 9, 11 e 12.

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