A potência recuperada de um processo de incineração de resíduos é dada por P(t)= 120+30 \sin \left(\frac{\pi t}{12}\right) (em kW ), onde t é o tempo em horas.
  1. Determine a integral indefinida de P(t).
  2. Calcule a energia total gerada em um dia de 24 horas.
  3. Resolva utilizando substituição trigonométrica.
  4. Interprete o resultado no contexto da transformação de resíduos em energia, destacando sua relevância para a inovação em processos industriais (ODS 9), infraestrutura urbana sustentável (ODS 11) e consumo responsável (ODS 12).

Passo 1

O enunciado dá a potência recuperada num processo de incineração como
P(t)=120+30\sin\!\Bigl(\frac{\pi t}{12}\Bigr)
(em kW), com t em horas, e pede:
– a integral indefinida de P(t);
– a energia total em 24 h;
– mostrar a resolução usando substituição trigonométrica;
– interpretar o resultado no contexto dos ODS 9, 11 e 12.
Para isso, vamos usar fórmulas básicas de integração: \int \sin(ax)\,dx=-\tfrac{1}{a}\cos(ax) e propriedades de funções periódicas.

Passo 2

Calcular a integral indefinida de P(t).
Primeiro escrevemos
\int P(t)\,dt=\int\bigl(120+30\sin(\tfrac{\pi t}{12})\bigr)\,dt =\int 120\,dt+\int 30\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi t}{12}\Bigr)\,dt.
Usando \int120\,dt=120t e a fórmula de \sin, temos
\int30\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi t}{12}\Bigr)\,dt =-30\cdot\frac{12}{\pi}\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi t}{12}\Bigr) =-\frac{360}{\pi}\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi t}{12}\Bigr).
Logo, uma primitiva é
F(t)=120t-\frac{360}{\pi}\cos\!\Bigl(\frac{\pi t}{12}\Bigr)+C.

Passo 3

Resolver a integral de \sin(\tfrac{\pi t}{12}) via substituição trigonométrica.
Faça
u=\frac{\pi t}{12}, \quad du=\frac{\pi}{12}\,dt, \quad dt=\frac{12}{\pi}\,du.
Então
\int30\sin\!\Bigl(\frac{\pi t}{12}\Bigr)\,dt =30\int\sin(u)\,\frac{12}{\pi}\,du =\frac{360}{\pi}\int\sin(u)\,du =-\frac{360}{\pi}\cos(u)+C
e voltando a t recuperamos \,-\tfrac{360}{\pi}\cos(\tfrac{\pi t}{12}).

Passo 4

Calcular a energia total em 24 h como a integral definida de 0 a 24:
E=\int_{0}^{24}P(t)\,dt=F(24)-F(0).
Como \cos(\tfrac{\pi\cdot24}{12})=\cos(2\pi)=1 e \cos(0)=1, tem-se
F(24)-F(0) =\Bigl(120\cdot24-\frac{360}{\pi}\cdot1\Bigr) -\Bigl(0-\frac{360}{\pi}\cdot1\Bigr) =120\cdot24 =2880\text{ kWh}.

Passo 5

Interpretação no contexto industrial e dos ODS:
– Inovação em processos (ODS 9): conhecer a curva de recuperação de potência ajuda a otimizar o equipamento de incineração, estimulando pesquisa em sensores e controle automático para maximizar eficiência.
– Infraestrutura urbana sustentável (ODS 11): o cálculo da energia diária mostra quanto de energia limpa pode ser integrada à rede local, reduzindo a dependência de combustíveis fósseis e melhorando a gestão de resíduos urbanos.
– Consumo responsável (ODS 12): demonstrar o valor energético dos resíduos incentiva a reciclagem e a logística reversa, promovendo práticas de consumo que aproveitam recursos antes descartados.

Resposta

\int P(t)\,dt =120t-\frac{360}{\pi}\cos\!\Bigl(\frac{\pi t}{12}\Bigr)+C,
Energia total em 24 h: 2880 kWh.

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