Em um triângulo retângulo
, reto em
, as medidas de seus lados
formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 3. Então, das alternativas abaixo, as medidas de
e
são, respectivamente,
a) 3,6 e 9
b) 6,9 e 12
(c) 9,12 e 15
d) 12,15 e 18
e) 15,18 e 21
a) 3,6 e 9
b) 6,9 e 12
(c) 9,12 e 15
d) 12,15 e 18
e) 15,18 e 21
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo em
com catetos
e
e hipotenusa
. Diz que
,
e
, nessa ordem, formam uma progressão aritmética de razão
. Para resolver, vamos usar a definição de progressão aritmética e o teorema de Pitágoras.
Passo 2
Sejam as medidas dos lados:
Aqui usamos que numa progressão aritmética cada termo aumenta em
.
Pelo teorema de Pitágoras, num triângulo retângulo em temos
Pelo teorema de Pitágoras, num triângulo retângulo em
Substituindo:
Passo 3
Vamos expandir e simplificar:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Assim
ou
. Descartamos
pois comprimento é positivo. Logo
Passo 5
Entre as alternativas, esses valores correspondem à alternativa (c).
Resposta
(c) 9, 12 e 15