Em um triângulo retângulo A B C, reto em B, as medidas de seus lados A B, B C \in A C formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 3. Então, das alternativas abaixo, as medidas de A B, B C e A C são, respectivamente,
a) 3,6 e 9
b) 6,9 e 12
(c) 9,12 e 15
d) 12,15 e 18
e) 15,18 e 21

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo em B com catetos AB e BC e hipotenusa AC. Diz que AB, BC e AC, nessa ordem, formam uma progressão aritmética de razão 3. Para resolver, vamos usar a definição de progressão aritmética e o teorema de Pitágoras.

Passo 2

Sejam as medidas dos lados:
AB = x,\quad BC = x+3,\quad AC = x+6.
Aqui usamos que numa progressão aritmética cada termo aumenta em 3.
Pelo teorema de Pitágoras, num triângulo retângulo em B temos
AB^2 + BC^2 = AC^2.
Substituindo:
x^2 + (x+3)^2 = (x+6)^2.

Passo 3

Vamos expandir e simplificar:
x^2 + (x^2 + 6x + 9) = x^2 + 12x + 36
2x^2 + 6x + 9 = x^2 + 12x + 36
2x^2 - x^2 + 6x - 12x + 9 - 36 = 0
x^2 - 6x - 27 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4\cdot1\cdot(-27)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} = \frac{6 \pm 12}{2}.
Assim x = 9 ou x = -3. Descartamos x=-3 pois comprimento é positivo. Logo
AB = 9,\quad BC = 12,\quad AC = 15.

Passo 5

Entre as alternativas, esses valores correspondem à alternativa (c).

Resposta

(c) 9, 12 e 15

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